MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intfrac2 Structured version   Unicode version

Theorem intfrac2 11244
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 11268? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfrac2.1  |-  Z  =  ( |_ `  A
)
intfrac2.2  |-  F  =  ( A  -  Z
)
Assertion
Ref Expression
intfrac2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  F  /\  F  <  1  /\  A  =  ( Z  +  F ) ) )

Proof of Theorem intfrac2
StepHypRef Expression
1 fracge0 11218 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
2 intfrac2.2 . . . 4  |-  F  =  ( A  -  Z
)
3 intfrac2.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( |_ `  A
)
43oveq2i 6095 . . . 4  |-  ( A  -  Z )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
52, 4eqtri 2458 . . 3  |-  F  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
61, 5syl6breqr 4255 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  F )
7 fraclt1 11216 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
85, 7syl5eqbr 4248 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  F  <  1 )
92oveq2i 6095 . . 3  |-  ( Z  +  F )  =  ( Z  +  ( A  -  Z ) )
10 flcl 11209 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
113, 10syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  Z  e.  ZZ )
1211zcnd 10381 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  Z  e.  CC )
13 recn 9085 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1412, 13pncan3d 9419 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( Z  +  ( A  -  Z ) )  =  A )
159, 14syl5req 2483 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( Z  +  F ) )
166, 8, 153jca 1135 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  F  /\  F  <  1  /\  A  =  ( Z  +  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   ZZcz 10287   |_cfl 11206
This theorem is referenced by:  intfracq  11245  fldiv  11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fl 11207
  Copyright terms: Public domain W3C validator