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Theorem intgru 8436
Description: The intersection of a family of universes is a universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
intgru  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )

Proof of Theorem intgru
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2 intex 4167 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 dfss3 3170 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Univ  <->  A. u  e.  A  u  e.  Univ )
5 elgrug 8414 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( u  e.  Univ  <->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) ) ) )
65ibi 232 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) )
76simpld 445 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  Tr  u
)
87ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
94, 8sylbi 187 . . . 4  |-  ( A 
C_  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
10 trint 4128 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Tr  u  ->  Tr  |^| A )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( A 
C_  Univ  ->  Tr  |^| A
)
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  Tr  |^| A )
13 grupw 8417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ~P x  e.  u )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( x  e.  u  ->  ~P x  e.  u )
)
1514ral2imi 2619 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( A. u  e.  A  x  e.  u  ->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u ) )
16 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1716elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  x  e.  u )
1816pwex 4193 . . . . . . . . 9  |-  ~P x  e.  _V
1918elint2 3869 . . . . . . . 8  |-  ( ~P x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u )
2015, 17, 193imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( x  e.  |^| A  ->  ~P x  e.  |^| A ) )
2120imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e.  |^| A
)
2221adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e. 
|^| A )
23 r19.26 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  <->  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u ) )
24 grupr 8419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y  e.  u )  ->  { x ,  y }  e.  u )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y  e.  u  ->  { x ,  y }  e.  u ) )
2625ral2imi 2619 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
2723, 26sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
28 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2928elint2 3869 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  y  e.  u )
30 prex 4217 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
3130elint2 3869 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  { x ,  y }  e.  u )
3227, 29, 313imtr4g 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  (
y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A
) )
3317, 32sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A ) )
3433ralrimiv 2625 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
3534adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
36 elmapg 6785 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
|^| A  ^m  x
)  <->  y : x -->
|^| A ) )
3716, 36mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
382, 37sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
3938ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
40 intss1 3877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  |^| A  C_  u )
41 fss 5397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  |^| A  C_  u
)  ->  y :
x --> u )
4240, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  u  e.  A
)  ->  y :
x --> u )
4342ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : x --> |^| A  ->  A. u  e.  A  y : x --> u )
44 gruurn 8420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y : x --> u )  ->  U. ran  y  e.  u )
45443expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y : x --> u  ->  U. ran  y  e.  u
) )
4645ral2imi 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4723, 46sylbir 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4817, 47sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4943, 48syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
5028rnex 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  y  e.  _V
5150uniex 4516 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  y  e.  _V
5251elint2 3869 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
)
5349, 52syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5453adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y : x --> |^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5539, 54sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5655ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A )
5722, 35, 563jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) )
5857ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
594, 58sylanb 458 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
60 elgrug 8414 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  Univ  <->  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e. 
|^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A ) ) ) )
6160biimpar 471 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) ) )  ->  |^| A  e.  Univ )
623, 12, 59, 61syl12anc 1180 1  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   U.cuni 3827   |^|cint 3862   Tr wtr 4113   ran crn 4690   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Univcgru 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-gru 8413
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