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Theorem intgru 8615
Description: The intersection of a family of universes is a universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
intgru  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )

Proof of Theorem intgru
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2 intex 4290 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 dfss3 3274 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Univ  <->  A. u  e.  A  u  e.  Univ )
5 grutr 8594 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  Tr  u
)
65ralimi 2717 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
74, 6sylbi 188 . . . 4  |-  ( A 
C_  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
8 trint 4251 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Tr  u  ->  Tr  |^| A )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  Univ  ->  Tr  |^| A
)
109adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  Tr  |^| A )
11 grupw 8596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ~P x  e.  u )
1211ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( x  e.  u  ->  ~P x  e.  u )
)
1312ral2imi 2718 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( A. u  e.  A  x  e.  u  ->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u ) )
14 vex 2895 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1514elint2 3992 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  x  e.  u )
1614pwex 4316 . . . . . . . . 9  |-  ~P x  e.  _V
1716elint2 3992 . . . . . . . 8  |-  ( ~P x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u )
1813, 15, 173imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( x  e.  |^| A  ->  ~P x  e.  |^| A ) )
1918imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e.  |^| A
)
2019adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e. 
|^| A )
21 r19.26 2774 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  <->  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u ) )
22 grupr 8598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y  e.  u )  ->  { x ,  y }  e.  u )
23223expia 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y  e.  u  ->  { x ,  y }  e.  u ) )
2423ral2imi 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
2521, 24sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
26 vex 2895 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2726elint2 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  y  e.  u )
28 prex 4340 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
2928elint2 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  { x ,  y }  e.  u )
3025, 27, 293imtr4g 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  (
y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A
) )
3115, 30sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A ) )
3231ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
3332adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
34 elmapg 6960 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
|^| A  ^m  x
)  <->  y : x -->
|^| A ) )
3514, 34mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
362, 35sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
3736ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
38 intss1 4000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  |^| A  C_  u )
39 fss 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  |^| A  C_  u
)  ->  y :
x --> u )
4038, 39sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  u  e.  A
)  ->  y :
x --> u )
4140ralrimiva 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : x --> |^| A  ->  A. u  e.  A  y : x --> u )
42 gruurn 8599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y : x --> u )  ->  U. ran  y  e.  u )
43423expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y : x --> u  ->  U. ran  y  e.  u
) )
4443ral2imi 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4521, 44sylbir 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4615, 45sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4741, 46syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4826rnex 5066 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  y  e.  _V
4948uniex 4638 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  y  e.  _V
5049elint2 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
)
5147, 50syl6ibr 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5251adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y : x --> |^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5337, 52sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5453ralrimiv 2724 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A )
5520, 33, 543jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) )
5655ralrimiva 2725 . . 3  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
574, 56sylanb 459 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
58 elgrug 8593 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  Univ  <->  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e. 
|^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A ) ) ) )
5958biimpar 472 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) ) )  ->  |^| A  e.  Univ )
603, 10, 57, 59syl12anc 1182 1  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {cpr 3751   U.cuni 3950   |^|cint 3985   Tr wtr 4236   ran crn 4812   -->wf 5383  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947   Univcgru 8591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-br 4147  df-opab 4201  df-tr 4237  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-map 6949  df-gru 8592
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