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Theorem intgru 8452
Description: The intersection of a family of universes is a universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
intgru  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )

Proof of Theorem intgru
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2 intex 4183 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 dfss3 3183 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Univ  <->  A. u  e.  A  u  e.  Univ )
5 elgrug 8430 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( u  e.  Univ  <->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) ) ) )
65ibi 232 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) )
76simpld 445 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  Tr  u
)
87ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
94, 8sylbi 187 . . . 4  |-  ( A 
C_  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
10 trint 4144 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Tr  u  ->  Tr  |^| A )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( A 
C_  Univ  ->  Tr  |^| A
)
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  Tr  |^| A )
13 grupw 8433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ~P x  e.  u )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( x  e.  u  ->  ~P x  e.  u )
)
1514ral2imi 2632 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( A. u  e.  A  x  e.  u  ->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u ) )
16 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1716elint2 3885 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  x  e.  u )
1816pwex 4209 . . . . . . . . 9  |-  ~P x  e.  _V
1918elint2 3885 . . . . . . . 8  |-  ( ~P x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u )
2015, 17, 193imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( x  e.  |^| A  ->  ~P x  e.  |^| A ) )
2120imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e.  |^| A
)
2221adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e. 
|^| A )
23 r19.26 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  <->  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u ) )
24 grupr 8435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y  e.  u )  ->  { x ,  y }  e.  u )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y  e.  u  ->  { x ,  y }  e.  u ) )
2625ral2imi 2632 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
2723, 26sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
28 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2928elint2 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  y  e.  u )
30 prex 4233 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
3130elint2 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  { x ,  y }  e.  u )
3227, 29, 313imtr4g 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  (
y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A
) )
3317, 32sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A ) )
3433ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
3534adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
36 elmapg 6801 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
|^| A  ^m  x
)  <->  y : x -->
|^| A ) )
3716, 36mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
382, 37sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
3938ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
40 intss1 3893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  |^| A  C_  u )
41 fss 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  |^| A  C_  u
)  ->  y :
x --> u )
4240, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  u  e.  A
)  ->  y :
x --> u )
4342ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : x --> |^| A  ->  A. u  e.  A  y : x --> u )
44 gruurn 8436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y : x --> u )  ->  U. ran  y  e.  u )
45443expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y : x --> u  ->  U. ran  y  e.  u
) )
4645ral2imi 2632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4723, 46sylbir 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4817, 47sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4943, 48syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
5028rnex 4958 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  y  e.  _V
5150uniex 4532 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  y  e.  _V
5251elint2 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
)
5349, 52syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5453adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y : x --> |^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5539, 54sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5655ralrimiv 2638 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A )
5722, 35, 563jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) )
5857ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
594, 58sylanb 458 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
60 elgrug 8430 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  Univ  <->  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e. 
|^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A ) ) ) )
6160biimpar 471 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) ) )  ->  |^| A  e.  Univ )
623, 12, 59, 61syl12anc 1180 1  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   U.cuni 3843   |^|cint 3878   Tr wtr 4129   ran crn 4706   -->wf 5267  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Univcgru 8428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-gru 8429
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