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Theorem intopcoaconb 25643
Description: The initial topology is the coarsest one making the functions  F continuous . (Contributed by FL, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
intopcoacon.2  |-  I  e.  A
intopcoacon.3  |-  X  e.  B
intopcoacon.4  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
intopcoacon.5  |-  I  =/=  (/)
Assertion
Ref Expression
intopcoaconb  |-  J  = 
|^| { t  e.  Top  | 
A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) }
Distinct variable groups:    i, o,
t, x, I    A, i, t, x    i, X, o, t, x    o, F, t, x    i, K, o, t, x    B, i, t
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, t, i, o)

Proof of Theorem intopcoaconb
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e. 
_V
2 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( t  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  (
t  e.  Top  <->  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e. 
Top ) )
3 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ i topGen
4 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i fi
5 nfre1 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )
65nfab 2436 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }
74, 6nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )
83, 7nffv 5548 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
98nfeq2 2443 . . . . . 6  |-  F/ i  t  =  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
10 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  (
t  Cn  K )  =  ( ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K ) )
1110eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  ( F  e.  ( t  Cn  K )  <->  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K
) ) )
129, 11ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( t  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K )  <->  A. i  e.  I  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K
) ) )
132, 12anbi12d 691 . . . 4  |-  ( t  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  (
( t  e.  Top  /\ 
A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) )  <->  ( ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K ) ) ) )
14 fibas 16731 . . . . . 6  |-  ( fi
`  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases
15 tgcl 16723 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e. 
Top
17 intopcoacon.4 . . . . . . . . . 10  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
1817rspec 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )
1918simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  I  ->  F : X --> U. K )
20 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  =  t  ->  ( `' F " o )  =  ( `' F " t ) )
2120eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  t  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
x  =  ( `' F " t ) ) )
2221cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) )
2322rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) )
2423abbii 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) }
2524fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( fi
`  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  ( fi
`  { x  |  E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) } )
2625fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) } ) )
27 intopcoacon.2 . . . . . . . . . . 11  |-  I  e.  A
28 intopcoacon.3 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e.  B
29 intopcoacon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  I  =/=  (/)
3026, 27, 28, 17, 29intopcoaconlem3 25642 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X
3130a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X )
3231feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  I  ->  ( F : U. ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) --> U. K  <->  F : X --> U. K
) )
3319, 32mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  F : U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) --> U. K
)
34 rsp2e 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K  /\  x  =  ( `' F " t ) )  ->  E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t ) )
35 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  o  ->  ( `' F " t )  =  ( `' F " o ) )
3635eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  o  ->  (
x  =  ( `' F " t )  <-> 
x  =  ( `' F " o ) ) )
3736cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t )  <->  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )
3837biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t )  ->  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )
3938reximi 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. i  e.  I  E. t  e.  K  x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )
4034, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K  /\  x  =  ( `' F " t ) )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )
41403expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K )  ->  ( x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )
4241alrimiv 1621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K )  ->  A. x ( x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )
43 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> U. K  ->  F  Fn  X )
44 fnex 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  X  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  _V )
45 cnvexg 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  X  /\  X  e.  B )  ->  `' F  e.  _V )
4743, 28, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> U. K  ->  `' F  e.  _V )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  `' F  e.  _V )
4948ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  `' F  e.  _V )
5017, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. i  e.  I  `' F  e.  _V
5150rspec 2620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  I  ->  `' F  e.  _V )
52 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
53 alexeqd 25065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  ( A. x ( x  =  ( `' F "
t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  <->  E. x ( x  =  ( `' F " t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) ) )
5453bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F "
t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  <->  A. x
( x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) ) )
5551, 52, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  I  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F "
t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  <->  A. x
( x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F " t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  <->  A. x ( x  =  ( `' F " t )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) ) )
5742, 56mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K )  ->  E. x ( x  =  ( `' F " t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )
58 clelab 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " t )  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. x ( x  =  ( `' F "
t )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )
5957, 58sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  I  /\  t  e.  K )  ->  ( `' F "
t )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )
6059ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  (
t  e.  K  -> 
( `' F "
t )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
61 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  K  e.  Top )
6261ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  K  e.  Top )
6317, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. i  e.  I  K  e.  Top
6463rspec 2620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  I  ->  K  e.  Top )
65 abrexexg 5780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Top  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  I  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
6766rgen 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V
68 abrexex2g 5784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. i  e.  I  {
x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
6927, 67, 68mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
7170elsubops 25635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
7269, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } 
C_  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
7372sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " t )  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( `' F " t )  e.  (
topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
7460, 73syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  I  ->  (
t  e.  K  -> 
( `' F "
t )  e.  (
topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) ) )
7574ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  A. t  e.  K  ( `' F " t )  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
76 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
77 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
7876, 77iscn2 16984 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K )  <->  ( (
( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) --> U. K  /\  A. t  e.  K  ( `' F " t )  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) ) ) )
7978baib 871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K )  <-> 
( F : U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) --> U. K  /\  A. t  e.  K  ( `' F " t )  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) ) ) )
8016, 64, 79sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  ( F  e.  ( ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K )  <-> 
( F : U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) --> U. K  /\  A. t  e.  K  ( `' F " t )  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) ) ) )
8133, 75, 80mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( i  e.  I  ->  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K
) )
8281rgen 2621 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K
)
8316, 82pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  Cn  K ) )
84 r19.29 2696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  ->  E. i  e.  I 
( F  e.  ( t  Cn  K )  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )
85 r19.29 2696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  ( F  e.  ( t  Cn  K
)  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  /\  ( F  e.  (
t  Cn  K )  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) ) )
86 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. t  =  U. t
8786, 77iscn2 16984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( t  Cn  K )  <->  ( (
t  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. t
--> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t ) ) )
8887baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( t  Cn  K )  <-> 
( F : U. t
--> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t ) ) )
89 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  ->  E. o  e.  K  ( ( `' F " o )  e.  t  /\  x  =  ( `' F " o ) ) )
90 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' F " o )  e.  t  ->  (
x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t ) )
9190imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( `' F "
o )  e.  t  /\  x  =  ( `' F " o ) )  ->  x  e.  t )
9291rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. o  e.  K  ( ( `' F "
o )  e.  t  /\  x  =  ( `' F " o ) )  ->  x  e.  t )
9389, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  ->  x  e.  t )
9493ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t  ->  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t )
)
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : U. t --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  t )  ->  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t )
)
9688, 95syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( t  Cn  K )  ->  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t ) ) )
9796ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( t  Cn  K )  ->  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t )
) ) )
9897com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Top  ->  ( F  e.  ( t  Cn  K )  ->  ( E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  -> 
( t  e.  Top  ->  x  e.  t ) ) ) )
9998imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( F  e.  ( t  Cn  K )  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  ->  ( t  e.  Top  ->  x  e.  t ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( ( F  e.  ( t  Cn  K )  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  -> 
( t  e.  Top  ->  x  e.  t ) ) )
101100imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  ( F  e.  ( t  Cn  K
)  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )  ->  (
t  e.  Top  ->  x  e.  t ) )
102101rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  ( F  e.  ( t  Cn  K
)  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )  ->  (
t  e.  Top  ->  x  e.  t ) )
10385, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  ( F  e.  ( t  Cn  K
)  /\  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) ) )  ->  (
t  e.  Top  ->  x  e.  t ) )
10417, 84, 103sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K )  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) )  -> 
( t  e.  Top  ->  x  e.  t ) )
105104ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
)  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  (
t  e.  Top  ->  x  e.  t ) ) )
106105com3r 73 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  Top  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K )  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t )
) )
107106imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) )  -> 
( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  ->  x  e.  t ) )
108107abssdv 3260 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  t )
109 tgfiss 16745 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  Top  /\  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  t )  ->  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  C_  t )
110108, 109syldan 456 . . . 4  |-  ( ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  C_  t )
11113, 83, 110eqint 25063 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  _V  ->  (
topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  |^| { t  |  ( t  e. 
Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
) ) } )
1121, 111ax-mp 8 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  = 
|^| { t  |  ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) ) }
113 intopcoacon.1 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
114 df-rab 2565 . . 3  |-  { t  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
) }  =  {
t  |  ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
) ) }
115114inteqi 3882 . 2  |-  |^| { t  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
) }  =  |^| { t  |  ( t  e.  Top  /\  A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K
) ) }
116112, 113, 1153eqtr4i 2326 1  |-  J  = 
|^| { t  e.  Top  | 
A. i  e.  I  F  e.  ( t  Cn  K ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   |^|cint 3878   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  intopcoaconc  25644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
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