Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intopcoaconc Unicode version

Theorem intopcoaconc 25644
 Description: The initial topology makes the functions continuous. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1
intopcoacon.2
intopcoacon.3
intopcoacon.4
intopcoacon.5
Assertion
Ref Expression
intopcoaconc
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem intopcoaconc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.4 . . . . 5
21rspec 2620 . . . 4
32simprd 449 . . 3
4 rsp 2616 . . . . . . . . . 10
54com12 27 . . . . . . . . 9
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8
7 simprr 733 . . . . . . . . . 10
8 simplr 731 . . . . . . . . . 10
9 cnima 17010 . . . . . . . . . 10
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . 9
1110expr 598 . . . . . . . 8
126, 11syld 40 . . . . . . 7
1312ralrimiva 2639 . . . . . 6
14 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10
16 intopcoacon.3 . . . . . . . . . 10
17 fnex 5757 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . 9
19 cnvexg 5224 . . . . . . . . 9
20 imaexg 5042 . . . . . . . . 9
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8
22 elintrabg 3891 . . . . . . . 8
232, 21, 223syl 18 . . . . . . 7
2423adantr 451 . . . . . 6
2513, 24mpbird 223 . . . . 5
26 intopcoacon.1 . . . . . 6
27 intopcoacon.2 . . . . . 6
28 intopcoacon.5 . . . . . 6
2926, 27, 16, 1, 28intopcoaconb 25643 . . . . 5
3025, 29syl6eleqr 2387 . . . 4
3130ralrimiva 2639 . . 3
32 fibas 16731 . . . . . 6
33 tgcl 16723 . . . . . 6
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5
3526, 34eqeltri 2366 . . . 4
36 simpl 443 . . . . . . 7
3736ralimi 2631 . . . . . 6
381, 37ax-mp 8 . . . . 5
3938rspec 2620 . . . 4
4026, 27, 16, 1, 28intopcoaconlem3 25642 . . . . . . 7
4140eqcomi 2300 . . . . . 6
42 eqid 2296 . . . . . 6
4341, 42iscn2 16984 . . . . 5
4443baib 871 . . . 4
4535, 39, 44sylancr 644 . . 3
463, 31, 45mpbir2and 888 . 2
4746rgen 2621 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801  c0 3468  cuni 3843  cint 3878  ccnv 4704  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfi 7180  ctg 13358  ctop 16647  ctb 16651   ccn 16970 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
 Copyright terms: Public domain W3C validator