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Theorem intopcoaconc 25541
Description: The initial topology makes the functions  F continuous. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
intopcoacon.2  |-  I  e.  A
intopcoacon.3  |-  X  e.  B
intopcoacon.4  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
intopcoacon.5  |-  I  =/=  (/)
Assertion
Ref Expression
intopcoaconc  |-  A. i  e.  I  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    i, o, x, I    A, i, x   
i, X, o, x   
o, F, x    i, K, o, x    B, i   
o, J
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, i)

Proof of Theorem intopcoaconc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.4 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
21rspec 2607 . . . 4  |-  ( i  e.  I  ->  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )
32simprd 449 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  F : X --> U. K )
4 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( i  e.  I  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
54com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K )  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
7 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  ->  F  e.  ( y  Cn  K ) )
8 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  -> 
o  e.  K )
9 cnima 16994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( y  Cn  K )  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  y )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  -> 
( `' F "
o )  e.  y )
1110expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( y  Cn  K )  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
126, 11syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
1312ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K )  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
14 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> U. K  ->  F  Fn  X )
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  F  Fn  X )
16 intopcoacon.3 . . . . . . . . . 10  |-  X  e.  B
17 fnex 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  X  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  _V )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  F  e.  _V )
19 cnvexg 5208 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
20 imaexg 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " o )  e.  _V )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( `' F " o )  e. 
_V )
22 elintrabg 3875 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " o )  e.  _V  ->  (
( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
232, 21, 223syl 18 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  (
( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( ( `' F " o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
2513, 24mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) } )
26 intopcoacon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
27 intopcoacon.2 . . . . . 6  |-  I  e.  A
28 intopcoacon.5 . . . . . 6  |-  I  =/=  (/)
2926, 27, 16, 1, 28intopcoaconb 25540 . . . . 5  |-  J  = 
|^| { y  e.  Top  | 
A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }
3025, 29syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  J
)
3130ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J )
32 fibas 16715 . . . . . 6  |-  ( fi
`  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases
33 tgcl 16707 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top )
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e. 
Top
3526, 34eqeltri 2353 . . . 4  |-  J  e. 
Top
36 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  K  e.  Top )
3736ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  K  e.  Top )
381, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  K  e.  Top
3938rspec 2607 . . . 4  |-  ( i  e.  I  ->  K  e.  Top )
4026, 27, 16, 1, 28intopcoaconlem3 25539 . . . . . . 7  |-  U. J  =  X
4140eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
42 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
4341, 42iscn2 16968 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
4443baib 871 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
4535, 39, 44sylancr 644 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
463, 31, 45mpbir2and 888 . 2  |-  ( i  e.  I  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4746rgen 2608 1  |-  A. i  e.  I  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   U.cuni 3827   |^|cint 3862   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ficfi 7164   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635    Cn ccn 16954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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