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Theorem intopcoaconc 25644
Description: The initial topology makes the functions  F continuous. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
intopcoacon.2  |-  I  e.  A
intopcoacon.3  |-  X  e.  B
intopcoacon.4  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
intopcoacon.5  |-  I  =/=  (/)
Assertion
Ref Expression
intopcoaconc  |-  A. i  e.  I  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    i, o, x, I    A, i, x   
i, X, o, x   
o, F, x    i, K, o, x    B, i   
o, J
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, i)

Proof of Theorem intopcoaconc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.4 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
21rspec 2620 . . . 4  |-  ( i  e.  I  ->  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )
32simprd 449 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  F : X --> U. K )
4 rsp 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( i  e.  I  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
54com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K )  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )
7 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  ->  F  e.  ( y  Cn  K ) )
8 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  -> 
o  e.  K )
9 cnima 17010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( y  Cn  K )  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  y )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  ( y  e.  Top  /\  F  e.  ( y  Cn  K
) ) )  -> 
( `' F "
o )  e.  y )
1110expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( y  Cn  K )  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
126, 11syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K
)  /\  y  e.  Top )  ->  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
1312ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K )  ->  ( `' F " o )  e.  y ) )
14 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> U. K  ->  F  Fn  X )
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  F  Fn  X )
16 intopcoacon.3 . . . . . . . . . 10  |-  X  e.  B
17 fnex 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  X  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  _V )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  F  e.  _V )
19 cnvexg 5224 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
20 imaexg 5042 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " o )  e.  _V )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( `' F " o )  e. 
_V )
22 elintrabg 3891 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " o )  e.  _V  ->  (
( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
232, 21, 223syl 18 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  (
( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( ( `' F " o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }  <->  A. y  e.  Top  ( A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K
)  ->  ( `' F " o )  e.  y ) ) )
2513, 24mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  |^| { y  e.  Top  |  A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) } )
26 intopcoacon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
27 intopcoacon.2 . . . . . 6  |-  I  e.  A
28 intopcoacon.5 . . . . . 6  |-  I  =/=  (/)
2926, 27, 16, 1, 28intopcoaconb 25643 . . . . 5  |-  J  = 
|^| { y  e.  Top  | 
A. i  e.  I  F  e.  ( y  Cn  K ) }
3025, 29syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( ( i  e.  I  /\  o  e.  K )  ->  ( `' F "
o )  e.  J
)
3130ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J )
32 fibas 16731 . . . . . 6  |-  ( fi
`  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases
33 tgcl 16723 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e.  Top )
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  e. 
Top
3526, 34eqeltri 2366 . . . 4  |-  J  e. 
Top
36 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  K  e.  Top )
3736ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  K  e.  Top )
381, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  K  e.  Top
3938rspec 2620 . . . 4  |-  ( i  e.  I  ->  K  e.  Top )
4026, 27, 16, 1, 28intopcoaconlem3 25642 . . . . . . 7  |-  U. J  =  X
4140eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
42 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
4341, 42iscn2 16984 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
4443baib 871 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
4535, 39, 44sylancr 644 . . 3  |-  ( i  e.  I  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( `' F " o )  e.  J ) ) )
463, 31, 45mpbir2and 888 . 2  |-  ( i  e.  I  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4746rgen 2621 1  |-  A. i  e.  I  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   U.cuni 3843   |^|cint 3878   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651    Cn ccn 16970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
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