Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intopcoaconlem3 Unicode version

Theorem intopcoaconlem3 25539
 Description: The underlying set of the initial topology is the domain of the mappings . (Contributed by FL, 21-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1
intopcoacon.2
intopcoacon.3
intopcoacon.4
intopcoacon.5
Assertion
Ref Expression
intopcoaconlem3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem intopcoaconlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.2 . . . . . . 7
21elexi 2797 . . . . . 6
3 intopcoacon.4 . . . . . . . . . 10
43rspec 2607 . . . . . . . . 9
54simpld 445 . . . . . . . 8
6 abrexexg 5764 . . . . . . . 8
75, 6syl 15 . . . . . . 7
87rgen 2608 . . . . . 6
9 abrexex2g 5768 . . . . . 6
102, 8, 9mp2an 653 . . . . 5
11 intopcoacon.1 . . . . . 6
1211elsubops 25532 . . . . 5
1310, 12ax-mp 8 . . . 4
14 intopcoacon.5 . . . . . . 7
15 r19.2zb 3544 . . . . . . 7
1614, 15mpbi 199 . . . . . 6
174simprd 449 . . . . . . 7
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9
1918topopn 16652 . . . . . . . 8
205, 19syl 15 . . . . . . 7
21 fimacnv 5657 . . . . . . . . 9
2221eqcomd 2288 . . . . . . . 8
23 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11
2423eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10
2524rspcev 2884 . . . . . . . . 9
2625expcom 424 . . . . . . . 8
2722, 26syl 15 . . . . . . 7
2817, 20, 27sylc 56 . . . . . 6
2916, 28mprg 2612 . . . . 5
30 intopcoacon.3 . . . . . . 7
3130elexi 2797 . . . . . 6
32 eqeq1 2289 . . . . . . 7
33322rexbidv 2586 . . . . . 6
3431, 33elab 2914 . . . . 5
3529, 34mpbir 200 . . . 4
3613, 35sselii 3177 . . 3
37 abrexex2g 5768 . . . . . . . 8
381, 8, 37mp2an 653 . . . . . . 7
39 fiuni 7181 . . . . . . 7
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6
41 tg1 16702 . . . . . 6
42 sseq2 3200 . . . . . . . 8
43 unissb 3857 . . . . . . . . . 10
44 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12
45 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13
46452rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . 12
4744, 46elab 2914 . . . . . . . . . . 11
48 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . 13
49 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251rexlimivw 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
5554eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . 13
5617, 48, 553syl 18 . . . . . . . . . . . 12
5756rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . 11
5847, 57sylbi 187 . . . . . . . . . 10
5943, 58mprgbir 2613 . . . . . . . . 9
60 sstr2 3186 . . . . . . . . 9
6159, 60mpi 16 . . . . . . . 8
6242, 61syl6bi 219 . . . . . . 7
6362eqcoms 2286 . . . . . 6
6440, 41, 63mpsyl 59 . . . . 5
6564, 11eleq2s 2375 . . . 4
6665rgen 2608 . . 3
67 ssunieq 3860 . . 3
6836, 66, 67mp2an 653 . 2
6968eqcomi 2287 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cuni 3827  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  cfi 7164  ctg 13342  ctop 16631 This theorem is referenced by:  intopcoaconb  25540  intopcoaconc  25541 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638
 Copyright terms: Public domain W3C validator