Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intopcoaconlem3 Unicode version

Theorem intopcoaconlem3 25539
Description: The underlying set of the initial topology is the domain of the mappings  F. (Contributed by FL, 21-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
intopcoacon.2  |-  I  e.  A
intopcoacon.3  |-  X  e.  B
intopcoacon.4  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
intopcoacon.5  |-  I  =/=  (/)
Assertion
Ref Expression
intopcoaconlem3  |-  U. J  =  X
Distinct variable groups:    i, o, x, I    A, i, x   
i, X, o, x   
o, F, x    i, K, o, x    B, i   
o, J
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, i)

Proof of Theorem intopcoaconlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.2 . . . . . . 7  |-  I  e.  A
21elexi 2797 . . . . . 6  |-  I  e. 
_V
3 intopcoacon.4 . . . . . . . . . 10  |-  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )
43rspec 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  I  ->  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )
54simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  I  ->  K  e.  Top )
6 abrexexg 5764 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
87rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V
9 abrexex2g 5768 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  A. i  e.  I  {
x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
102, 8, 9mp2an 653 . . . . 5  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V
11 intopcoacon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
1211elsubops 25532 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  J )
1310, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } 
C_  J
14 intopcoacon.5 . . . . . . 7  |-  I  =/=  (/)
15 r19.2zb 3544 . . . . . . 7  |-  ( I  =/=  (/)  <->  ( A. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
1614, 15mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
174simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  F : X --> U. K )
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
1918topopn 16652 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
205, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  U. K  e.  K )
21 fimacnv 5657 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( `' F " U. K )  =  X )
2221eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> U. K  ->  X  =  ( `' F " U. K
) )
23 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  U. K  -> 
( `' F "
o )  =  ( `' F " U. K
) )
2423eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  U. K  -> 
( X  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " U. K
) ) )
2524rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K
) )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
2625expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( `' F " U. K )  -> 
( U. K  e.  K  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2722, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( U. K  e.  K  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2817, 20, 27sylc 56 . . . . . 6  |-  ( i  e.  I  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
2916, 28mprg 2612 . . . . 5  |-  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o )
30 intopcoacon.3 . . . . . . 7  |-  X  e.  B
3130elexi 2797 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
32 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " o ) ) )
33322rexbidv 2586 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3431, 33elab 2914 . . . . 5  |-  ( X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
3529, 34mpbir 200 . . . 4  |-  X  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }
3613, 35sselii 3177 . . 3  |-  X  e.  J
37 abrexex2g 5768 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. i  e.  I  {
x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
381, 8, 37mp2an 653 . . . . . . 7  |-  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V
39 fiuni 7181 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )
41 tg1 16702 . . . . . 6  |-  ( o  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  o  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
42 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( o  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  <-> 
o  C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
43 unissb 3857 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X 
<-> 
A. y  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } y  C_  X
)
44 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
45 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
y  =  ( `' F " o ) ) )
46452rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o ) ) )
4744, 46elab 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o ) )
48 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> U. K  ->  dom  F  =  X )
49 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " o ) 
C_  dom  F
50 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( `' F " o )  ->  (
y  C_  dom  F  <->  ( `' F " o )  C_  dom  F ) )
5149, 50mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( `' F " o )  ->  y  C_ 
dom  F )
5251rexlimivw 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o )  ->  y  C_ 
dom  F )
53 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( y  C_  X  <->  y 
C_  dom  F )
)
5452, 53syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o )  ->  y  C_  X
) )
5554eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  =  X  -> 
( E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o )  ->  y  C_  X
) )
5617, 48, 553syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  I  ->  ( E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o )  -> 
y  C_  X )
)
5756rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  y  =  ( `' F " o )  ->  y  C_  X )
5847, 57sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  y  C_  X
)
5943, 58mprgbir 2613 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X
60 sstr2 3186 . . . . . . . . 9  |-  ( o 
C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X  ->  o 
C_  X ) )
6159, 60mpi 16 . . . . . . . 8  |-  ( o 
C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  o  C_  X
)
6242, 61syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( o  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  o  C_  X
) )
6362eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  (
o  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  o  C_  X ) )
6440, 41, 63mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( o  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  o  C_  X )
6564, 11eleq2s 2375 . . . 4  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_  X )
6665rgen 2608 . . 3  |-  A. o  e.  J  o  C_  X
67 ssunieq 3860 . . 3  |-  ( ( X  e.  J  /\  A. o  e.  J  o 
C_  X )  ->  X  =  U. J )
6836, 66, 67mp2an 653 . 2  |-  X  = 
U. J
6968eqcomi 2287 1  |-  U. J  =  X
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255   ficfi 7164   topGenctg 13342   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  intopcoaconb  25540  intopcoaconc  25541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator