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Theorem intopcoaconlem3b 25641
Description: The underlying set of the initial topology is the domain of the mappings  F. (Contributed by FL, 24-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
intopcoacon.1  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
Assertion
Ref Expression
intopcoaconlem3b  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. J  =  X )
Distinct variable groups:    i, o, x, I    A, i, x   
i, X, o, x   
o, F, x    i, K, o, x    B, i   
o, J
Allowed substitution hints:    A( o)    B( x, o)    F( i)    J( x, i)

Proof of Theorem intopcoaconlem3b
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intopcoacon.1 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
21unieqi 3853 . 2  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
3 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  I  e.  A )
4 abrexexg 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
65ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
763ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. i  e.  I  { x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
8 abrexex2g 5784 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. i  e.  I  {
x  |  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
93, 7, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
1110elsubops 25635 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
129, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } 
C_  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
1413topopn 16668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
15 fimacnv 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( `' F " U. K )  =  X )
1615eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> U. K  ->  X  =  ( `' F " U. K
) )
1714, 16anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K ) ) )
1817a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  i  e.  I )  ->  (
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K ) ) ) )
19 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  U. K  -> 
( `' F "
o )  =  ( `' F " U. K
) )
2019eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  U. K  -> 
( X  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " U. K
) ) )
2120rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  X  =  ( `' F " U. K
) )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
2218, 21syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  i  e.  I )  ->  (
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2322reximdva0 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2423ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  (
I  e.  A  /\  X  e.  B )
)  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
25 r19.35 2700 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )  <->  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2624, 25sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  (
I  e.  A  /\  X  e.  B )
)  ->  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
2726expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( I  =/=  (/)  ->  ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) ) )
28273imp 1145 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) )
29 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  B )
30 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
X  =  ( `' F " o ) ) )
31302rexbidv 2599 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3231elabg 2928 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3329, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  ( X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  X  =  ( `' F " o ) ) )
3428, 33mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )
3512, 34sseldd 3194 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  X  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
36 tg1 16718 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  ->  t  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
37 fiuni 7197 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
389, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
39 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
40 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( `' F " o )  <-> 
t  =  ( `' F " o ) ) )
41402rexbidv 2599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o )  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) ) )
4239, 41elab 2927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  <->  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )
43 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) ) )
44 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : X --> U. K  ->  dom  F  =  X )
4544eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : X --> U. K  ->  X  =  dom  F
)
46 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' F " o ) 
C_  dom  F
47 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  =  ( `' F " o )  ->  (
t  C_  dom  F  <->  ( `' F " o )  C_  dom  F ) )
4846, 47mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_ 
dom  F )
4948rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_ 
dom  F )
50 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( t  C_  X  <->  t 
C_  dom  F )
)
5149, 50syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  dom  F  -> 
( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
5245, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : X --> U. K  ->  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  ->  ( E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X ) )
5453imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5554rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i  e.  I  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5643, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
)  /\  E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o ) )  ->  t  C_  X )
5756ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K )  -> 
( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  t  C_  X
) )
58573ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  -> 
t  C_  X )
)
5958com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i  e.  I  E. o  e.  K  t  =  ( `' F " o )  ->  (
( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  ->  t  C_  X
) )
6042, 59sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K ) )  ->  t  C_  X
) )
6160impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  /\  t  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X )
6261ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. t  e.  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } t 
C_  X )
63 unissb 3873 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X 
<-> 
A. t  e.  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } t  C_  X
)
6462, 63sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X )
65 sstr2 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( t 
C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  C_  X  ->  t 
C_  X ) )
6664, 65syl5com 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  t  C_  X
) )
67 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( t  C_ 
U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  <-> 
t  C_  U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )
6867imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X )  <->  ( t  C_ 
U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  t  C_  X
) ) )
6966, 68syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  =  U. {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  ->  ( (
( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) ) )
7069eqcoms 2299 . . . . . 6  |-  ( U. { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) }  =  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  (
( ( I  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. i  e.  I  ( K  e.  Top  /\  F : X
--> U. K ) )  ->  ( t  C_  U. ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) ) )
7138, 70mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  C_  U. ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } )  ->  t  C_  X ) )
7236, 71syl5 28 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  (
t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  -> 
t  C_  X )
)
7372ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t  C_  X
)
74 ssunieq 3876 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  /\  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t 
C_  X )  ->  X  =  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) )
7574eqcomd 2301 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  /\  A. t  e.  ( topGen `  ( fi `  {
x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) ) t 
C_  X )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X )
7635, 73, 75syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. ( topGen `
 ( fi `  { x  |  E. i  e.  I  E. o  e.  K  x  =  ( `' F " o ) } ) )  =  X )
772, 76syl5eq 2340 1  |-  ( ( ( I  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. i  e.  I 
( K  e.  Top  /\  F : X --> U. K
) )  ->  U. J  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271   ficfi 7180   topGenctg 13358   Topctop 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654
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