Theorem intss 2554

Description: Intersection of subclasses.

Assertion

Ref	Expression
intss	|- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Proof of Theorem intss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imim1 15	. . . . 5 |- ((y e. A -> y e. B) -> ((y e. B -> x e. y) -> (y e. A -> x e. y)))
2	1	19.20ii 995	. . . 4 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (A.y(y e. B -> x e. y) -> A.y(y e. A -> x e. y)))
3		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
4	3	elint 2539	. . . 4 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
5	3	elint 2539	. . . 4 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
6	2, 4, 5	3imtr4g 553	. . 3 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (x e. |^|B -> x e. |^|A))
7	6	19.21aiv 1286	. 2 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
8		dfss2 2058	. 2 |- (A (_ B <-> A.y(y e. A -> y e. B))
9		dfss2 2058	. 2 |- (|^|B (_ |^|A <-> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
10	7, 8, 9	3imtr4 219	1 |- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   e. wcel 958   (_ wss 2047  |^|cint 2533

This theorem is referenced by:  intabs 2733  abfii4OLD 4564  rankval3 4681  rankr1id 4697  rankval4 4702  cfub 4908  cflim 4909  cflecard 4912  cfom 4916  clsss 7687  hsupss 9309  spanss 9318

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-int 2534

Copyright terms: Public domain