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Theorem inttop2 25515
Description: The intersection of a family of topologies is a topology. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
inttop2  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  |^|_ x  e.  I  J  e.  Top )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem inttop2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniopn 16643 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  J )  ->  U. u  e.  J
)
21ex 423 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  C_  J  ->  U. u  e.  J ) )
32ral2imi 2619 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  I  u  C_  J  ->  A. x  e.  I  U. u  e.  J ) )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  ( A. x  e.  I  u  C_  J  ->  A. x  e.  I  U. u  e.  J ) )
5 ssiin 3952 . . . 4  |-  ( u 
C_  |^|_ x  e.  I  J 
<-> 
A. x  e.  I  u  C_  J )
6 vex 2791 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
76uniex 4516 . . . . 5  |-  U. u  e.  _V
8 eliin 3910 . . . . 5  |-  ( U. u  e.  _V  ->  ( U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J  <->  A. x  e.  I  U. u  e.  J ) )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  ( U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J  <->  A. x  e.  I  U. u  e.  J )
104, 5, 93imtr4g 261 . . 3  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  (
u  C_  |^|_ x  e.  I  J  ->  U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J ) )
1110alrimiv 1617 . 2  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  A. u
( u  C_  |^|_ x  e.  I  J  ->  U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J )
)
12 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  |^|_ x  e.  I  J  <->  A. x  e.  I  u  e.  J ) )
136, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( u  e.  |^|_ x  e.  I  J 
<-> 
A. x  e.  I  u  e.  J )
14 vex 2791 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
15 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  |^|_ x  e.  I  J  <->  A. x  e.  I  v  e.  J ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( v  e.  |^|_ x  e.  I  J 
<-> 
A. x  e.  I 
v  e.  J )
17 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )  <->  ( A. x  e.  I  u  e.  J  /\  A. x  e.  I  v  e.  J ) )
18 inopn 16645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  ( u  i^i  v
)  e.  J )
19183expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  J
) )
2019ral2imi 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  I  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  A. x  e.  I 
( u  i^i  v
)  e.  J ) )
2120adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  ( A. x  e.  I 
( u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  A. x  e.  I  ( u  i^i  v )  e.  J
) )
2221com12 27 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  A. x  e.  I 
( u  i^i  v
)  e.  J ) )
2317, 22sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  u  e.  J  /\  A. x  e.  I  v  e.  J )  -> 
( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  A. x  e.  I 
( u  i^i  v
)  e.  J ) )
246inex1 4155 . . . . . . 7  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
25 eliin 3910 . . . . . . 7  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  _V  ->  (
( u  i^i  v
)  e.  |^|_ x  e.  I  J  <->  A. x  e.  I  ( u  i^i  v )  e.  J
) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J 
<-> 
A. x  e.  I 
( u  i^i  v
)  e.  J )
2723, 26syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  u  e.  J  /\  A. x  e.  I  v  e.  J )  -> 
( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J ) )
2813, 16, 27syl2anb 465 . . . 4  |-  ( ( u  e.  |^|_ x  e.  I  J  /\  v  e.  |^|_ x  e.  I  J )  -> 
( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J ) )
2928com12 27 . . 3  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  (
( u  e.  |^|_ x  e.  I  J  /\  v  e.  |^|_ x  e.  I  J )  -> 
( u  i^i  v
)  e.  |^|_ x  e.  I  J )
)
3029ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  A. u  e.  |^|_  x  e.  I  J A. v  e.  |^|_  x  e.  I  J ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J )
31 iinexg 4171 . . 3  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  |^|_ x  e.  I  J  e.  _V )
32 istopg 16641 . . 3  |-  ( |^|_ x  e.  I  J  e. 
_V  ->  ( |^|_ x  e.  I  J  e.  Top 
<->  ( A. u ( u  C_  |^|_ x  e.  I  J  ->  U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J )  /\  A. u  e.  |^|_  x  e.  I  J A. v  e.  |^|_  x  e.  I  J ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J ) ) )
3331, 32syl 15 . 2  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  ( |^|_ x  e.  I  J  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  |^|_
x  e.  I  J  ->  U. u  e.  |^|_ x  e.  I  J )  /\  A. u  e. 
|^|_  x  e.  I  J A. v  e.  |^|_  x  e.  I  J ( u  i^i  v )  e.  |^|_ x  e.  I  J ) ) )
3411, 30, 33mpbir2and 888 1  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  |^|_ x  e.  I  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   |^|_ciin 3906   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  inttop3  25516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-pw 3627  df-uni 3828  df-int 3863  df-iin 3908  df-top 16636
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