Theorem intun 3462

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Proof of Theorem intun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1732	. . . 4 |- (A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
2		elun 2992	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	imbi1i 375	. . . . . 6 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A \/ y e. B) -> x e. y))
4		jaob 879	. . . . . 6 |- (((y e. A \/ y e. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
5	3, 4	bitri 306	. . . . 5 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
6	5	albii 1664	. . . 4 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
7		visset 2572	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	elint 3438	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
9	7	elint 3438	. . . . 5 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
10	8, 9	anbi12i 806	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ x e. |^|B) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
11	1, 6, 10	3bitr4i 340	. . 3 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
12	7	elint 3438	. . 3 |- (x e. |^|(A u. B) <-> A.y(y e. (A u. B) -> x e. y))
13		elin 3031	. . 3 |- (x e. (|^|A i^i |^|B) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
14	11, 12, 13	3bitr4i 340	. 2 |- (x e. |^|(A u. B) <-> x e. (|^|A i^i |^|B))
15	14	eqriv 2167	1 |- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 432   /\ wa 433  A.wal 1613   = wceq 1615   e. wcel 1617   u. cun 2857   i^i cin 2858  |^|cint 3432

This theorem is referenced by:  intunsn 3467  abfii4 5920  subbas 9915  fbssint 11275  infi 11276  fbunfip 11278  infi1 15312  moec 15320  ficli 15324  elfiun 16454  fcluscomplem 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-ex 1645  df-sb 1845  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-v 2571  df-un 2864  df-in 2866  df-int 3433

Copyright terms: Public domain