Theorem intun 2562

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Proof of Theorem intun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1067	. . . 4 |- (A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
2		elun 2173	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	imbi1i 186	. . . . . 6 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A \/ y e. B) -> x e. y))
4		jaob 422	. . . . . 6 |- (((y e. A \/ y e. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
6	5	albii 999	. . . 4 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
7		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	elint 2539	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
9	7	elint 2539	. . . . 5 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
10	8, 9	anbi12i 482	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ x e. |^|B) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
11	1, 6, 10	3bitr4 183	. . 3 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
12	7	elint 2539	. . 3 |- (x e. |^|(A u. B) <-> A.y(y e. (A u. B) -> x e. y))
13		elin 2207	. . 3 |- (x e. (|^|A i^i |^|B) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. 2 |- (x e. |^|(A u. B) <-> x e. (|^|A i^i |^|B))
15	14	eqriv 1474	1 |- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045   i^i cin 2046  |^|cint 2533

This theorem is referenced by:  intunsn 2565  abfii4OLD 4564  subbasOLD 7644  infi1 10447  infi1OLD 10448  moec 10461  ficli 10472  ficliOLD 10473  infi 10578  infiOLD 10579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-un 2050  df-in 2051  df-int 2534

Copyright terms: Public domain