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Theorem invdisj 4012
Description: If there is a function  C (
y ) such that  C (
y )  =  x for all  y  e.  B
( x ), then the sets  B ( x ) for distinct  x  e.  A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
invdisj  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  -> Disj  x  e.  A B )
Distinct variable groups:    x, y    y, A    y, B    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( y)

Proof of Theorem invdisj
StepHypRef Expression
1 nfra2 2597 . . 3  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x
2 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  C  =  x ) )
3 rsp 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  C  =  x  ->  ( y  e.  B  ->  C  =  x ) )
4 eqcom 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  x  <->  x  =  C )
53, 4syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  C  =  x  ->  ( y  e.  B  ->  x  =  C ) )
65imim2i 13 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  C  =  x )  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  x  =  C ) ) )
76imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  C  =  x )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  =  C ) )
87alimi 1546 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  C  =  x )  ->  A. x
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  =  C ) )
92, 8sylbi 187 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  ->  A. x
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  =  C ) )
10 mo2icl 2944 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  =  C )  ->  E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  ->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )
121, 11alrimi 1745 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  ->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
13 df-disj 3994 . . 3  |-  (Disj  x  e.  A B  <->  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )
14 df-rmo 2551 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A y  e.  B  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )
1514albii 1553 . . 3  |-  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  B  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1613, 15bitri 240 . 2  |-  (Disj  x  e.  A B  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1712, 16sylibr 203 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  x  -> Disj  x  e.  A B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543   E*wrmo 2546  Disj wdisj 3993
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12286  incexc2  12297  itg1addlem1  19047  musum  20431  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  disjabrex  23359  disjabrexf  23360  phisum  27518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rmo 2551  df-v 2790  df-disj 3994
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