Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invfun Structured version   Unicode version

Theorem invfun 13981
 Description: The inverse relation is a function, which is to say that every morphism has at most one inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
Assertion
Ref Expression
invfun

Proof of Theorem invfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . 4
2 invfval.n . . . 4 Inv
3 invfval.c . . . 4
4 invfval.x . . . 4
5 invfval.y . . . 4
6 eqid 2435 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6invss 13978 . . 3
8 relxp 4975 . . 3
9 relss 4955 . . 3
107, 8, 9ee10 1385 . 2
11 eqid 2435 . . . . . 6 Sect Sect
123adantr 452 . . . . . 6
135adantr 452 . . . . . 6
144adantr 452 . . . . . 6
151, 2, 3, 4, 5, 11isinv 13977 . . . . . . . 8 Sect Sect
1615simplbda 608 . . . . . . 7 Sect
1716adantrr 698 . . . . . 6 Sect
181, 2, 3, 4, 5, 11isinv 13977 . . . . . . . 8 Sect Sect
1918simprbda 607 . . . . . . 7 Sect
2019adantrl 697 . . . . . 6 Sect
211, 11, 12, 13, 14, 17, 20sectcan 13973 . . . . 5
2221ex 424 . . . 4
2322alrimiv 1641 . . 3
2423alrimivv 1642 . 2
25 dffun2 5456 . 2
2610, 24, 25sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312   class class class wbr 4204   cxp 4868   wrel 4875   wfun 5440  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   chom 13532  ccat 13881  Sectcsect 13962  Invcinv 13963 This theorem is referenced by:  inviso1  13983  invf  13985  invco  13988  funciso  14063  ffthiso  14118  fuciso  14164  setciso  14238  catciso  14254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-cat 13885  df-cid 13886  df-sect 13965  df-inv 13966
 Copyright terms: Public domain W3C validator