MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrcn Unicode version

Theorem invrcn 17879
Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
invrcn.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
invrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
invrcn  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )

Proof of Theorem invrcn
StepHypRef Expression
1 tdrgtps 17875 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopSp )
2 mulrcn.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
32tpstop 16693 . . 3  |-  ( R  e.  TopSp  ->  J  e.  Top )
4 cnrest2r 17031 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) )  C_  ( ( Jt  U )  Cn  J ) )
51, 3, 43syl 18 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) )  C_  (
( Jt  U )  Cn  J
) )
6 invrcn.i . . 3  |-  I  =  ( invr `  R
)
7 invrcn.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
82, 6, 7invrcn2 17878 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) ) )
95, 8sseldd 3194 1  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  Unitcui 15437   invrcinvr 15469   Topctop 16647   TopSpctps 16650    Cn ccn 16970  TopDRingctdrg 17855
This theorem is referenced by:  dvrcn  17882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-invr 15470  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-tmd 17771  df-tgp 17772  df-trg 17858  df-tdrg 17859
  Copyright terms: Public domain W3C validator