MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrcn Structured version   Unicode version

Theorem invrcn 18200
Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
invrcn.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
invrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
invrcn  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )

Proof of Theorem invrcn
StepHypRef Expression
1 tdrgtps 18196 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopSp )
2 mulrcn.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
32tpstop 16994 . . 3  |-  ( R  e.  TopSp  ->  J  e.  Top )
4 cnrest2r 17341 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) )  C_  ( ( Jt  U )  Cn  J ) )
51, 3, 43syl 19 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) )  C_  (
( Jt  U )  Cn  J
) )
6 invrcn.i . . 3  |-  I  =  ( invr `  R
)
7 invrcn.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
82, 6, 7invrcn2 18199 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) ) )
95, 8sseldd 3341 1  |-  ( R  e. TopDRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13638   TopOpenctopn 13639  Unitcui 15734   invrcinvr 15766   Topctop 16948   TopSpctps 16951    Cn ccn 17278  TopDRingctdrg 18176
This theorem is referenced by:  dvrcn  18203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-tset 13538  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-minusg 14803  df-mgp 15639  df-invr 15767  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cn 17281  df-tmd 18092  df-tgp 18093  df-trg 18179  df-tdrg 18180
  Copyright terms: Public domain W3C validator