Theorem invrcn2 17862

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )
invrcn.i	|- I = ( invr ` R )
invrcn.u	|- U = (Unit ` R )

Assertion

Ref	Expression
invrcn2	|- ( R e. TopDRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem invrcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2283	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2		invrcn.u	. . 3 |- U = (Unit ` R )
3	1, 2	tdrgunit 17849	. 2 |- ( R e. TopDRing -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. TopGrp )
4		eqid 2283	. . . 4 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
5		mulrcn.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` R )
6	1, 5	mgptopn 15334	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` (mulGrp ` R ) )
7	4, 6	resstopn 16916	. . 3 |- ( J ↾t U ) = ( TopOpen ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8		invrcn.i	. . . 4 |- I = ( invr ` R )
9	2, 4, 8	invrfval 15455	. . 3 |- I = ( inv g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
10	7, 9	tgpinv 17768	. 2 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. TopGrp -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )
11	3, 10	syl 15	1 |- ( R e. TopDRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾_s cress 13149   ↾_t crest 13325   TopOpenctopn 13326  mulGrpcmgp 15325  Unitcui 15421   invrcinvr 15453   Cn ccn 16954   TopGrpctgp 17754  TopDRingctdrg 17839

This theorem is referenced by:  invrcn  17863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-rest 13327  df-topn 13328  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-invr 15454  df-tgp 17756  df-tdrg 17843