Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrpropd Structured version   Unicode version

Theorem invrpropd 15795
 Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1
rngidpropd.2
rngidpropd.3
Assertion
Ref Expression
invrpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem invrpropd
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5 Unit Unit
2 eqid 2435 . . . . 5 mulGrps Unit mulGrps Unit
31, 2unitgrpbas 15763 . . . 4 Unit mulGrps Unit
43a1i 11 . . 3 Unit mulGrps Unit
5 rngidpropd.1 . . . . 5
6 rngidpropd.2 . . . . 5
7 rngidpropd.3 . . . . 5
85, 6, 7unitpropd 15794 . . . 4 Unit Unit
9 eqid 2435 . . . . 5 Unit Unit
10 eqid 2435 . . . . 5 mulGrps Unit mulGrps Unit
119, 10unitgrpbas 15763 . . . 4 Unit mulGrps Unit
128, 11syl6eq 2483 . . 3 Unit mulGrps Unit
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1413, 1unitss 15757 . . . . . . . 8 Unit
1514, 5syl5sseqr 3389 . . . . . . 7 Unit
1615sselda 3340 . . . . . 6 Unit
1715sselda 3340 . . . . . 6 Unit
1816, 17anim12dan 811 . . . . 5 Unit Unit
1918, 7syldan 457 . . . 4 Unit Unit
20 fvex 5734 . . . . . 6 Unit
21 eqid 2435 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
22 eqid 2435 . . . . . . . 8
2321, 22mgpplusg 15644 . . . . . . 7 mulGrp
242, 23ressplusg 13563 . . . . . 6 Unit mulGrps Unit
2520, 24ax-mp 8 . . . . 5 mulGrps Unit
2625oveqi 6086 . . . 4 mulGrps Unit
27 fvex 5734 . . . . . 6 Unit
28 eqid 2435 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
29 eqid 2435 . . . . . . . 8
3028, 29mgpplusg 15644 . . . . . . 7 mulGrp
3110, 30ressplusg 13563 . . . . . 6 Unit mulGrps Unit
3227, 31ax-mp 8 . . . . 5 mulGrps Unit
3332oveqi 6086 . . . 4 mulGrps Unit
3419, 26, 333eqtr3g 2490 . . 3 Unit Unit mulGrps Unit mulGrps Unit
354, 12, 34grpinvpropd 14858 . 2 mulGrps Unit mulGrps Unit
36 eqid 2435 . . 3
371, 2, 36invrfval 15770 . 2 mulGrps Unit
38 eqid 2435 . . 3
399, 10, 38invrfval 15770 . 2 mulGrps Unit
4035, 37, 393eqtr4g 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  cmulr 13522  cminusg 14678  mulGrpcmgp 15640  Unitcui 15736  cinvr 15768 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769
 Copyright terms: Public domain W3C validator