MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocopnst Structured version   Unicode version

Theorem iocopnst 18970
Description: A half-open interval ending at  B is open in the closed interval from  A to  B. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iocopnst.1  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
iocopnst  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  ->  ( C (,] B )  e.  J
) )

Proof of Theorem iocopnst
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 18805 . . . . 5  |-  ( C (,) ( B  + 
1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
2 simp1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  v  e.  RR )
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  v  e.  RR ) )
4 simp2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  C  <  v )
54a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  C  <  v ) )
6 ltp1 9853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
76adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
8 peano2re 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
98adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
10 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( v  <_  B  /\  B  <  ( B  +  1 ) )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
11103expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( B  + 
1 )  e.  RR )  ->  ( ( v  <_  B  /\  B  <  ( B  +  1 ) )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
1211ancom1s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  /\  ( B  + 
1 )  e.  RR )  ->  ( ( v  <_  B  /\  B  <  ( B  +  1 ) )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
1312ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  /\  ( B  + 
1 )  e.  RR )  ->  ( ( B  <  ( B  + 
1 )  /\  v  <_  B )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
149, 13mpdan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( B  < 
( B  +  1 )  /\  v  <_  B )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
157, 14mpand 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  <_  B  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
1615impr 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( v  e.  RR  /\  v  <_  B )
)  ->  v  <  ( B  +  1 ) )
17163adantr2 1118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B ) )  ->  v  <  ( B  +  1 ) )
1817ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  -> 
v  <  ( B  +  1 ) ) )
1918ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  v  <  ( B  +  1 ) ) )
203, 5, 193jcad 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  +  1 ) ) ) )
21 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
22 elico2 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
2321, 22sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
2423biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) )
25 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <  v )  ->  A  <  v
) )
26 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( A  <  v  ->  A  <_  v )
)
27263adant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( A  <  v  ->  A  <_  v ) )
2825, 27syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <  v )  ->  A  <_  v
) )
29283expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  C  /\  C  <  v )  ->  A  <_  v ) )
3029imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  v  e.  RR )  /\  ( A  <_  C  /\  C  <  v ) )  ->  A  <_  v )
3130an4s 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  C )  /\  (
v  e.  RR  /\  C  <  v ) )  ->  A  <_  v
)
32313adantr3 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  C )  /\  (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B ) )  ->  A  <_  v )
3332ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  C
)  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  A  <_  v ) )
3433anasss 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C )
)  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  A  <_  v ) )
35343adantr3 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) )  ->  ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  A  <_  v ) )
3635adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) )  ->  (
( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  A  <_  v ) )
3724, 36syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  A  <_  v ) )
38 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  v  <_  B )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  v  <_  B ) )
403, 37, 393jcad 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  (
v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) )
4120, 40jcad 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  ->  (
( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  + 
1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) ) )
42 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  + 
1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) )  ->  v  e.  RR )
43 simpl2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  + 
1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) )  ->  C  <  v
)
44 simpr3 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  + 
1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) )  ->  v  <_  B
)
4542, 43, 443jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  + 
1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) )  ->  ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <_  B ) )
4641, 45impbid1 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <_  B )  <->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  +  1 ) )  /\  (
v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) ) )
4724simp1d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  C  e.  RR )
48 rexr 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  C  e.  RR* )
50 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  B  e.  RR )
51 elioc2 10978 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
v  e.  ( C (,] B )  <->  ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <_  B ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( v  e.  ( C (,] B
)  <->  ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <_  B ) ) )
53 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( C (,) ( B  + 
1 ) )  i^i  ( A [,] B
) )  <->  ( v  e.  ( C (,) ( B  +  1 ) )  /\  v  e.  ( A [,] B
) ) )
54 rexr 9135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +  1 )  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR* )
558, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR* )
5655ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( B  +  1 )  e. 
RR* )
57 elioo2 10962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  ( B  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
v  e.  ( C (,) ( B  + 
1 ) )  <->  ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <  ( B  +  1 ) ) ) )
5849, 56, 57syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( v  e.  ( C (,) ( B  +  1 ) )  <->  ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <  ( B  +  1 ) ) ) )
59 elicc2 10980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( v  e.  ( A [,] B )  <-> 
( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) )
6059adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( v  e.  ( A [,] B
)  <->  ( v  e.  RR  /\  A  <_ 
v  /\  v  <_  B ) ) )
6158, 60anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( (
v  e.  ( C (,) ( B  + 
1 ) )  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  <->  ( (
v  e.  RR  /\  C  <  v  /\  v  <  ( B  +  1 ) )  /\  (
v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) ) )
6253, 61syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( v  e.  ( ( C (,) ( B  +  1
) )  i^i  ( A [,] B ) )  <-> 
( ( v  e.  RR  /\  C  < 
v  /\  v  <  ( B  +  1 ) )  /\  ( v  e.  RR  /\  A  <_  v  /\  v  <_  B ) ) ) )
6346, 52, 623bitr4d 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( v  e.  ( C (,] B
)  <->  v  e.  ( ( C (,) ( B  +  1 ) )  i^i  ( A [,] B ) ) ) )
6463eqrdv 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( C (,] B )  =  ( ( C (,) ( B  +  1 ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
65 ineq1 3537 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( C (,) ( B  +  1
) )  ->  (
v  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( ( C (,) ( B  +  1
) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
6665eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( C (,) ( B  +  1
) )  ->  (
( C (,] B
)  =  ( v  i^i  ( A [,] B ) )  <->  ( C (,] B )  =  ( ( C (,) ( B  +  1 ) )  i^i  ( A [,] B ) ) ) )
6766rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( C (,) ( B  +  1 ) )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  ( C (,] B )  =  ( ( C (,) ( B  +  1
) )  i^i  ( A [,] B ) ) )  ->  E. v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( C (,] B
)  =  ( v  i^i  ( A [,] B ) ) )
681, 64, 67sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  E. v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( C (,] B
)  =  ( v  i^i  ( A [,] B ) ) )
69 retop 18800 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
70 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
71 elrest 13660 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( C (,] B
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  <->  E. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( C (,] B
)  =  ( v  i^i  ( A [,] B ) ) ) )
7269, 70, 71mp2an 655 . . . 4  |-  ( ( C (,] B )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  <->  E. v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( C (,] B
)  =  ( v  i^i  ( A [,] B ) ) )
7368, 72sylibr 205 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( C (,] B )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
74 iccssre 10997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
7574adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
76 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
77 iocopnst.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
7876, 77resubmet 18838 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) )
7975, 78syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) )
8073, 79eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( C (,] B )  e.  J
)
8180ex 425 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  ->  ( C (,] B )  e.  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   ran crn 4882    |` cres 4883    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   (,)cioo 10921   (,]cioc 10922   [,)cico 10923   [,]cicc 10924   abscabs 12044   ↾t crest 13653   topGenctg 13670   MetOpencmopn 16696   Topctop 16963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971
  Copyright terms: Public domain W3C validator