MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Unicode version

Theorem ioof 10927
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 10865 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 10897 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 6038 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 3741 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 201 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2469 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2708 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 10845 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6350 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 200 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146    X. cxp 4809   -->wf 5383  (class class class)co 6013   RRcr 8915   RR*cxr 9045    < clt 9046   (,)cioo 10841
This theorem is referenced by:  unirnioo  10929  dfioo2  10930  ioorebas  10931  qtopbaslem  18656  retopbas  18658  qdensere  18668  blssioo  18690  tgioo  18691  tgqioo  18695  re2ndc  18696  xrtgioo  18701  xrge0tsms  18729  bndth  18847  ovolfioo  19224  ovollb  19235  ovolicc2  19278  ovolfs2  19323  ioorf  19325  ioorinv  19328  ioorcl  19329  uniiccdif  19330  uniioovol  19331  uniiccvol  19332  uniioombllem2  19335  uniioombllem3a  19336  uniioombllem3  19337  uniioombllem4  19338  uniioombllem5  19339  uniioombl  19341  opnmblALT  19355  mbfdm  19380  mbfima  19384  mbfid  19388  ismbfd  19392  mbfimaopnlem  19407  i1fd  19433  xrge0tsmsd  24045  iccllyscon  24709  rellyscon  24710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-ioo 10845
  Copyright terms: Public domain W3C validator