MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Unicode version

Theorem ioof 10741
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 10680 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 10712 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 3631 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 200 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2372 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2609 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 10660 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6191 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 199 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867   (,)cioo 10656
This theorem is referenced by:  unirnioo  10743  dfioo2  10744  ioorebas  10745  qtopbaslem  18267  retopbas  18269  qdensere  18279  blssioo  18301  tgioo  18302  tgqioo  18306  re2ndc  18307  xrtgioo  18312  xrge0tsms  18339  bndth  18456  ovolfioo  18827  ovollb  18838  ovolicc2  18881  ovolfs2  18926  ioorf  18928  ioorinv  18931  ioorcl  18932  uniiccdif  18933  uniioovol  18934  uniiccvol  18935  uniioombllem2  18938  uniioombllem3a  18939  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem5  18942  uniioombl  18944  opnmblALT  18958  mbfdm  18983  mbfima  18987  mbfid  18991  ismbfd  18995  mbfimaopnlem  19010  i1fd  19036  xrge0tsmsd  23382  iccllyscon  23781  rellyscon  23782  bsi  25501  basexre  25522  intrn  25599  altretop  25600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator