MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Unicode version

Theorem ioof 10994
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 10932 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 10964 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 3797 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 201 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2524 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2764 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 10912 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6410 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 200 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442  (class class class)co 6073   RRcr 8981   RR*cxr 9111    < clt 9112   (,)cioo 10908
This theorem is referenced by:  unirnioo  10996  dfioo2  10997  ioorebas  10998  qtopbaslem  18784  retopbas  18786  qdensere  18796  blssioo  18818  tgioo  18819  tgqioo  18823  re2ndc  18824  xrtgioo  18829  xrge0tsms  18857  bndth  18975  ovolfioo  19356  ovollb  19367  ovolicc2  19410  ovolfs2  19455  ioorf  19457  ioorinv  19460  ioorcl  19461  uniiccdif  19462  uniioovol  19463  uniiccvol  19464  uniioombllem2  19467  uniioombllem3a  19468  uniioombllem3  19469  uniioombllem4  19470  uniioombllem5  19471  uniioombl  19473  opnmblALT  19487  mbfdm  19512  mbfima  19516  mbfid  19520  ismbfd  19524  mbfimaopnlem  19539  i1fd  19565  xrge0tsmsd  24215  iccllyscon  24929  rellyscon  24930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ioo 10912
  Copyright terms: Public domain W3C validator