MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooin Structured version   Unicode version

Theorem iooin 10942
Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooin  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D
) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
) )

Proof of Theorem iooin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10912 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrmaxlt 10761 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  z  <->  ( A  <  z  /\  C  < 
z ) ) )
3 xrltmin 10762 . 2  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z  <  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z  <  B  /\  z  < 
D ) ) )
41, 2, 3ixxin 10925 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D
) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311   ifcif 3731   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   (,)cioo 10908
This theorem is referenced by:  qtopbaslem  18784  tgioo  18819  uniioombllem2a  19466  ismbfd  19524  lhop2  19891  itg2gt0cn  26250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ioo 10912
  Copyright terms: Public domain W3C validator