MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooin Unicode version

Theorem iooin 10882
Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooin  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D
) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
) )

Proof of Theorem iooin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10852 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrmaxlt 10701 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  z  <->  ( A  <  z  /\  C  < 
z ) ) )
3 xrltmin 10702 . 2  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z  <  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z  <  B  /\  z  < 
D ) ) )
41, 2, 3ixxin 10865 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D
) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262   ifcif 3682   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   (,)cioo 10848
This theorem is referenced by:  qtopbaslem  18663  tgioo  18698  uniioombllem2a  19341  ismbfd  19399  lhop2  19766  itg2gt0cn  25960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-ioo 10852
  Copyright terms: Public domain W3C validator