MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Structured version   Unicode version

Theorem ioomax 10977
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10706 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 pnfxr 10705 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 iooval2 10941 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 654 . 2  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
5 rabid2 2877 . . 3  |-  ( RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }  <->  A. x  e.  RR  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
6 mnflt 10714 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
7 ltpnf 10713 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
86, 7jca 519 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
95, 8mprgbir 2768 . 2  |-  RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
104, 9eqtr4i 2458 1  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112   (,)cioo 10908
This theorem is referenced by:  unirnioo  10996  resup  11240  reordt  17274  icopnfcld  18794  iocmnfcld  18795  blssioo  18818  reconnlem1  18849  ioombl1  19448  ioombl  19451  mbfdm  19512  ismbf  19514  ismbf2d  19525  ismbf3d  19538  xrge0adddir  24207  fsumrp0cl  24209  tpr2rico  24302  xrge0iifcnv  24311  lmlimxrge0  24326  rge0scvg  24327  lmdvg  24330  esumfsupre  24453  esumpfinvallem  24456  esumpfinval  24457  esumpfinvalf  24458  esumpcvgval  24460  esumcvg  24468  retopscon  24928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ioo 10912
  Copyright terms: Public domain W3C validator