MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Structured version   Unicode version

Theorem ioomax 10990
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10719 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 pnfxr 10718 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 iooval2 10954 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 655 . 2  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
5 rabid2 2887 . . 3  |-  ( RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }  <->  A. x  e.  RR  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
6 mnflt 10727 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
7 ltpnf 10726 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
86, 7jca 520 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
95, 8mprgbir 2778 . 2  |-  RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
104, 9eqtr4i 2461 1  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125   (,)cioo 10921
This theorem is referenced by:  unirnioo  11009  resup  11253  reordt  17287  icopnfcld  18807  iocmnfcld  18808  blssioo  18831  reconnlem1  18862  ioombl1  19461  ioombl  19464  mbfdm  19523  ismbf  19525  ismbf2d  19536  ismbf3d  19549  xrge0adddir  24220  fsumrp0cl  24222  tpr2rico  24315  xrge0iifcnv  24324  lmlimxrge0  24339  rge0scvg  24340  lmdvg  24343  esumfsupre  24466  esumpfinvallem  24469  esumpfinval  24470  esumpfinvalf  24471  esumpcvgval  24473  esumcvg  24481  retopscon  24941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-ioo 10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator