MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Unicode version

Theorem ioomax 10917
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10646 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 pnfxr 10645 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 iooval2 10881 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 654 . 2  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  {
x  e.  RR  | 
(  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
5 rabid2 2828 . . 3  |-  ( RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }  <->  A. x  e.  RR  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
6 mnflt 10654 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
7 ltpnf 10653 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
86, 7jca 519 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) )
95, 8mprgbir 2719 . 2  |-  RR  =  { x  e.  RR  |  (  -oo  <  x  /\  x  <  +oo ) }
104, 9eqtr4i 2410 1  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   RRcr 8922    +oocpnf 9050    -oocmnf 9051   RR*cxr 9052    < clt 9053   (,)cioo 10848
This theorem is referenced by:  unirnioo  10936  resup  11175  reordt  17204  icopnfcld  18673  iocmnfcld  18674  blssioo  18697  reconnlem1  18728  ioombl1  19323  ioombl  19326  mbfdm  19387  ismbf  19389  ismbf2d  19400  ismbf3d  19413  xrge0adddir  24044  fsumrp0cl  24046  tpr2rico  24114  xrge0iifcnv  24123  lmlimxrge0  24138  rge0scvg  24139  lmdvg  24142  esumfsupre  24257  esumpfinvallem  24260  esumpfinval  24261  esumpfinvalf  24262  esumpcvgval  24264  esumcvg  24272  retopscon  24715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-ioo 10852
  Copyright terms: Public domain W3C validator