MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem1 Unicode version

Theorem ioombl1lem1 18968
Description: Lemma for ioombl1 18972. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1
StepHypRef Expression
1 ioombl1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 ioombl1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
4 ioombl1.f1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5 ovolfcl 18879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64, 5sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
76simp1d 967 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
9 ifcl 3635 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
102, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
11 ioombl1.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
126simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1311, 12syl5eqel 2400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
14 min2 10565 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  Q
)
1510, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q )
16 df-br 4061 . . . . 5  |-  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q  <->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
1715, 16sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
18 ifcl 3635 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
1910, 13, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
20 opelxpi 4758 . . . . 5  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2119, 13, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
22 elin 3392 . . . 4  |-  ( <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  <_  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
2317, 21, 22sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
2523, 24fmptd 5722 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 max1 10561 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
278, 2, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
286simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2928, 3, 113brtr4g 4092 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  Q )
30 breq2 4064 . . . . . . 7  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
31 breq2 4064 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  Q  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
3230, 31ifboth 3630 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  P  <_  Q )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
3327, 29, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
34 df-br 4061 . . . . 5  |-  ( P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
3533, 34sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
36 opelxpi 4758 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
378, 19, 36syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
38 elin 3392 . . . 4  |-  ( <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  <_  /\ 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) ) )
3935, 37, 38sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
40 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
4139, 40fmptd 5722 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4225, 41jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ifcif 3599   <.cop 3677   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   ran crn 4727    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   supcsup 7238   RRcr 8781   1c1 8783    + caddc 8785    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082   NNcn 9791   RR+crp 10401   (,)cioo 10703    seq cseq 11093   abscabs 11766   vol
*covol 18875
This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  18970  ioombl1lem4  18971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator