MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem ioombl1lem1 19454
Description: Lemma for ioombl1 19458. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1
StepHypRef Expression
1 ioombl1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 ioombl1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
4 ioombl1.f1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5 ovolfcl 19365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64, 5sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
76simp1d 970 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
9 ifcl 3777 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
102, 8, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
11 ioombl1.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
126simp2d 971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1311, 12syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
14 min2 10779 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  Q
)
1510, 13, 14syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q )
16 df-br 4215 . . . . 5  |-  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q  <->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
1715, 16sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
18 ifcl 3777 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
1910, 13, 18syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
20 opelxpi 4912 . . . . 5  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2119, 13, 20syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
22 elin 3532 . . . 4  |-  ( <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  <_  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
2317, 21, 22sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
2523, 24fmptd 5895 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 max1 10775 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
278, 2, 26syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
286simp3d 972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2928, 3, 113brtr4g 4246 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  Q )
30 breq2 4218 . . . . . . 7  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
31 breq2 4218 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  Q  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
3230, 31ifboth 3772 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  P  <_  Q )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
3327, 29, 32syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
34 df-br 4215 . . . . 5  |-  ( P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
3533, 34sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
36 opelxpi 4912 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
378, 19, 36syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
38 elin 3532 . . . 4  |-  ( <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  <_  /\ 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) ) )
3935, 37, 38sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
40 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
4139, 40fmptd 5895 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4225, 41jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ran crn 4881    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   supcsup 7447   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   RR+crp 10614   (,)cioo 10918    seq cseq 11325   abscabs 12041   vol
*covol 19361
This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  19456  ioombl1lem4  19457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128
  Copyright terms: Public domain W3C validator