MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Unicode version

Theorem ioombl1lem2 18932
Description: Lemma for ioombl1 18935. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
3 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
42, 3ovolsf 18848 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6 frn 5411 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
8 icossxr 10750 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10 supxrcl 10649 . . 3  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
12 ioombl1.v . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
13 ioombl1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpred 10406 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1512, 14readdcld 8878 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
16 mnfxr 10472 . . . 4  |-  -oo  e.  RR*
1716a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
18 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
195, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
20 1nn 9773 . . . . 5  |-  1  e.  NN
21 fnfvelrn 5678 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
2219, 20, 21sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
239, 22sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR* )
24 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
25 pnfxr 10471 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
26 icossre 10746 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2724, 25, 26mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
28 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
295, 20, 28sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3027, 29sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR )
31 mnflt 10480 . . . 4  |-  ( ( S `  1 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
3230, 31syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
33 supxrub 10659 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  1 )  e.  ran  S )  -> 
( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
349, 22, 33syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
3517, 23, 11, 32, 34xrltletrd 10508 . 2  |-  ( ph  ->  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 ioombl1.f3 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
37 xrre 10514 . 2  |-  ( ( ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  (
( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  E )  +  C
) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3811, 15, 35, 36, 37syl22anc 1183 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674    seq cseq 11062   abscabs 11735   vol
*covol 18838
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  18934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator