MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Unicode version

Theorem ioombl1lem2 18916
Description: Lemma for ioombl1 18919. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
3 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
42, 3ovolsf 18832 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6 frn 5395 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
8 icossxr 10734 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8syl6ss 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10 supxrcl 10633 . . 3  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
12 ioombl1.v . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
13 ioombl1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1512, 14readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
16 mnfxr 10456 . . . 4  |-  -oo  e.  RR*
1716a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
18 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
195, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
20 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
21 fnfvelrn 5662 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
2219, 20, 21sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
239, 22sseldd 3181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR* )
24 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
25 pnfxr 10455 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
26 icossre 10730 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2724, 25, 26mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
28 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
295, 20, 28sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3027, 29sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR )
31 mnflt 10464 . . . 4  |-  ( ( S `  1 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
3230, 31syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
33 supxrub 10643 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  1 )  e.  ran  S )  -> 
( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
349, 22, 33syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
3517, 23, 11, 32, 34xrltletrd 10492 . 2  |-  ( ph  ->  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 ioombl1.f3 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
37 xrre 10498 . 2  |-  ( ( ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  (
( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  E )  +  C
) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3811, 15, 35, 36, 37syl22anc 1183 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658    seq cseq 11046   abscabs 11719   vol
*covol 18822
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  18918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator