MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ioombl1lem2 19454
Description: Lemma for ioombl1 19457. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
3 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
42, 3ovolsf 19370 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6 frn 5598 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
8 icossxr 10996 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8syl6ss 3361 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10 supxrcl 10894 . . 3  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
12 ioombl1.v . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
13 ioombl1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpred 10649 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1512, 14readdcld 9116 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
16 mnfxr 10715 . . . 4  |-  -oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
18 ffn 5592 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
195, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
20 1nn 10012 . . . . 5  |-  1  e.  NN
21 fnfvelrn 5868 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
2219, 20, 21sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
239, 22sseldd 3350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR* )
24 0re 9092 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
25 pnfxr 10714 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
26 icossre 10992 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2724, 25, 26mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
28 ffvelrn 5869 . . . . . 6  |-  ( ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
295, 20, 28sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3027, 29sseldi 3347 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR )
31 mnflt 10723 . . . 4  |-  ( ( S `  1 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( S `  1 ) )
33 supxrub 10904 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  1 )  e.  ran  S )  -> 
( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
349, 22, 33syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
3517, 23, 11, 32, 34xrltletrd 10752 . 2  |-  ( ph  ->  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 ioombl1.f3 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
37 xrre 10758 . 2  |-  ( ( ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  (
( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  E )  +  C
) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3811, 15, 35, 36, 37syl22anc 1186 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ifcif 3740   <.cop 3818   U.cuni 4016   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   ran crn 4880    o. ccom 4883    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1stc1st 6348   2ndc2nd 6349   supcsup 7446   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    +oocpnf 9118    -oocmnf 9119   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   NNcn 10001   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   [,)cico 10919    seq cseq 11324   abscabs 12040   vol
*covol 19360
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  19456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-ico 10923  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042
  Copyright terms: Public domain W3C validator