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Theorem ioombl1lem3 19446
Description: Lemma for ioombl1 19448. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem3
StepHypRef Expression
1 ioombl1.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
2 ioombl1.f1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 ovolfcl 19355 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
42, 3sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
54simp2d 970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
76recnd 9106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  CC )
8 ioombl1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
10 ioombl1.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
114simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1210, 11syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
13 ifcl 3767 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
149, 12, 13syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
15 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
1614, 6, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
1716recnd 9106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  CC )
1812recnd 9106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
197, 17, 18npncand 9427 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )  +  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )  =  ( Q  -  P ) )
20 ioombl1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
21 ioombl1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
22 ioombl1.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
23 ioombl1.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
25 ioombl1.t . . . . . . 7  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
26 ioombl1.u . . . . . . 7  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
27 ioombl1.f2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
28 ioombl1.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
29 ioombl1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
30 ioombl1.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
3120, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 2, 27, 28, 10, 1, 29, 30ioombl1lem1 19444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
3231simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
33 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
3433ovolfsval 19359 . . . . 5  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
3532, 34sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
36 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
37 opex 4419 . . . . . . . 8  |-  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V
3829fvmpt2 5804 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V )  ->  ( G `  n )  =  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  = 
<. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
4039fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
41 op2ndg 6352 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  Q )
4216, 6, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  Q )
4340, 42eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  Q )
4439fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
45 op1stg 6351 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
4616, 6, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
4744, 46eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
4843, 47oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
4935, 48eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
5031simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
51 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
5251ovolfsval 19359 . . . . 5  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( H `  n
) )  -  ( 1st `  ( H `  n ) ) ) )
5350, 52sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( H `  n )
)  -  ( 1st `  ( H `  n
) ) ) )
54 opex 4419 . . . . . . . 8  |-  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  _V
5530fvmpt2 5804 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  _V )  ->  ( H `  n )  =  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )
5636, 54, 55sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  = 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
5756fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
58 op2ndg 6352 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
5912, 16, 58syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
6057, 59eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
6156fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
62 op1stg 6351 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  P )
6312, 16, 62syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  P )
6461, 63eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  P )
6560, 64oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( H `
 n ) )  -  ( 1st `  ( H `  n )
) )  =  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )
6653, 65eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )
6749, 66oveq12d 6091 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )  +  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) ) )
68 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
6968ovolfsval 19359 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
702, 69sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) ) )
711, 10oveq12i 6085 . . 3  |-  ( Q  -  P )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )
7270, 71syl6eqr 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( Q  -  P ) )
7319, 67, 723eqtr4d 2477 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   <.cop 3809   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340   supcsup 7437   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   RR+crp 10604   (,)cioo 10908    seq cseq 11315   abscabs 12031   vol
*covol 19351
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  19447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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