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Theorem ioombl1lem3 18917
Description: Lemma for ioombl1 18919. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem3
StepHypRef Expression
1 ioombl1.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
2 ioombl1.f1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 ovolfcl 18826 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
42, 3sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
54simp2d 968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
76recnd 8861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  CC )
8 ioombl1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
10 ioombl1.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
114simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1210, 11syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
13 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
149, 12, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
15 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
1614, 6, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
1716recnd 8861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  CC )
1812recnd 8861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
197, 17, 18npncand 9181 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )  +  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )  =  ( Q  -  P ) )
20 ioombl1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
21 ioombl1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
22 ioombl1.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
23 ioombl1.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
25 ioombl1.t . . . . . . 7  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
26 ioombl1.u . . . . . . 7  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
27 ioombl1.f2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
28 ioombl1.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
29 ioombl1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
30 ioombl1.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
3120, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 2, 27, 28, 10, 1, 29, 30ioombl1lem1 18915 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
3231simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
33 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
3433ovolfsval 18830 . . . . 5  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
3532, 34sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
36 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
37 opex 4237 . . . . . . . 8  |-  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V
3829fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V )  ->  ( G `  n )  =  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
3936, 37, 38sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  = 
<. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
4039fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
41 op2ndg 6133 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  Q )
4216, 6, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  Q )
4340, 42eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  Q )
4439fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
45 op1stg 6132 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
4616, 6, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
4744, 46eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
4843, 47oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
4935, 48eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
5031simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
51 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
5251ovolfsval 18830 . . . . 5  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( H `  n
) )  -  ( 1st `  ( H `  n ) ) ) )
5350, 52sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( H `  n )
)  -  ( 1st `  ( H `  n
) ) ) )
54 opex 4237 . . . . . . . 8  |-  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  _V
5530fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  _V )  ->  ( H `  n )  =  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )
5636, 54, 55sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  = 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
5756fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
58 op2ndg 6133 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
5912, 16, 58syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
6057, 59eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
6156fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
62 op1stg 6132 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  P )
6312, 16, 62syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  P )
6461, 63eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  P )
6560, 64oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( H `
 n ) )  -  ( 1st `  ( H `  n )
) )  =  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )
6653, 65eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) )
6749, 66oveq12d 5876 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( Q  -  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )  +  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  -  P
) ) )
68 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
6968ovolfsval 18830 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
702, 69sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) ) )
711, 10oveq12i 5870 . . 3  |-  ( Q  -  P )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )
7270, 71syl6eqr 2333 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( Q  -  P ) )
7319, 67, 723eqtr4d 2325 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   RR+crp 10354   (,)cioo 10656    seq cseq 11046   abscabs 11719   vol
*covol 18822
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  18918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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