Theorem ioonegt 6406

Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioonegt	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C e. (A(,)B) <-> -uC e. (-uB(,)-uA)))

Proof of Theorem ioonegt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnegt 5655	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> -uC < -uA))
2	1	3adant2 798	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> -uC < -uA))
3		ltnegt 5655	. . . . . 6 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (C < B <-> -uB < -uC))
4	3	ancoms 436	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (C < B <-> -uB < -uC))
5	4	3adant1 797	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C < B <-> -uB < -uC))
6	2, 5	anbi12d 628	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < C /\ C < B) <-> (-uC < -uA /\ -uB < -uC)))
7		ancom 435	. . 3 |- ((-uC < -uA /\ -uB < -uC) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA))
8	6, 7	syl6bb 536	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < C /\ C < B) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA)))
9		elioo5t 6384	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (C e. (A(,)B) <-> (A < C /\ C < B)))
10		rexrt 5499	. . 3 |- (A e. RR -> A e. RR*)
11		rexrt 5499	. . 3 |- (B e. RR -> B e. RR*)
12		rexrt 5499	. . 3 |- (C e. RR -> C e. RR*)
13	9, 10, 11, 12	syl3an 868	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C e. (A(,)B) <-> (A < C /\ C < B)))
14		elioo5t 6384	. . . . 5 |- ((-uB e. RR* /\ -uA e. RR* /\ -uC e. RR*) -> (-uC e. (-uB(,)-uA) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA)))
15		rexrt 5499	. . . . 5 |- (-uB e. RR -> -uB e. RR*)
16		rexrt 5499	. . . . 5 |- (-uA e. RR -> -uA e. RR*)
17		rexrt 5499	. . . . 5 |- (-uC e. RR -> -uC e. RR*)
18	14, 15, 16, 17	syl3an 868	. . . 4 |- ((-uB e. RR /\ -uA e. RR /\ -uC e. RR) -> (-uC e. (-uB(,)-uA) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA)))
19		renegclt 5437	. . . 4 |- (B e. RR -> -uB e. RR)
20		renegclt 5437	. . . 4 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
21		renegclt 5437	. . . 4 |- (C e. RR -> -uC e. RR)
22	18, 19, 20, 21	syl3an 868	. . 3 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> (-uC e. (-uB(,)-uA) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA)))
23	22	3com12 837	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (-uC e. (-uB(,)-uA) <-> (-uB < -uC /\ -uC < -uA)))
24	8, 13, 23	3bitr4d 550	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C e. (A(,)B) <-> -uC e. (-uB(,)-uA)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  -ucneg 5293  RR*cxr 5485   < clt 5486  (,)cioo 6357

This theorem is referenced by:  pilem3 8673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-ioo 6361

Copyright terms: Public domain