MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioopos Structured version   Unicode version

Theorem ioopos 10987
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
0  <  x }

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 9131 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 pnfxr 10713 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 iooval2 10949 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
0 (,)  +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( 0  < 
x  /\  x  <  +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 654 . 2  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
( 0  <  x  /\  x  <  +oo ) }
5 ltpnf 10721 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
65biantrud 494 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( 0  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
76rabbiia 2946 . 2  |-  { x  e.  RR  |  0  < 
x }  =  {
x  e.  RR  | 
( 0  <  x  /\  x  <  +oo ) }
84, 7eqtr4i 2459 1  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
0  <  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120   (,)cioo 10916
This theorem is referenced by:  ioorp  10988  repos  11001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ioo 10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator