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Theorem ioorcl2 18927
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3464 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 10686 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 8985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 10709 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 9594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
1514a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
17 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
18 ovolge0 18840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
1917, 18mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) )
20 lep1 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2215, 16, 5, 19, 21letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
233, 5subge02d 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2422, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
25 ovolioo 18925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
266, 3, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
273recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
285recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2927, 28nncand 9162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3026, 29eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
32 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3310, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
349simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
35 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3736simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
38 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3911, 34, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
4037, 39mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
41 iooss2 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4234, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4433, 43sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
45 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
4644, 17, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol * `
 ( ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4731, 46eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
4847ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) ) ) )
49 xrlenlt 8890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
5010, 7, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
515, 16lenltd 8965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5248, 50, 513imtr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5313, 52mt4d 130 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5436simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
55 xrre2 10499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
567, 10, 11, 53, 54, 55syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
573, 5readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5857rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
593, 5addge01d 9360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
6022, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
61 ovolioo 18925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
623, 57, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6327, 28pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6462, 63eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
66 iooss2 10692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6734, 66sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
68 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6910, 11, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
7054, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
71 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7210, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7467, 73sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
75 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7674, 17, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol * `
 ( z (,) ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7765, 76eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol * `  ( A (,) B ) ) )
7877ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol * `
 ( A (,) B ) ) ) )
79 xrlenlt 8890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8058, 34, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8178, 80, 513imtr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol * `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8213, 81mt4d 130 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
83 xrre2 10499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol * `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8411, 34, 58, 37, 82, 83syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8556, 84jca 518 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8685ex 423 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8786exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol
* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
881, 87sylbi 187 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8988imp 418 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   (,)cioo 10656   vol *covol 18822
This theorem is referenced by:  ioorcl  18932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
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