MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorebas Structured version   Unicode version

Theorem ioorebas 11037
Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorebas  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)

Proof of Theorem ioorebas
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 21 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
2 iooid 10975 . . . 4  |-  ( 0 (,) 0 )  =  (/)
3 ioof 11033 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5620 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 0xr 9162 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
7 fnovrn 6250 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  0  e.  RR*  /\  0  e. 
RR* )  ->  (
0 (,) 0 )  e.  ran  (,) )
85, 6, 6, 7mp3an 1280 . . . 4  |-  ( 0 (,) 0 )  e. 
ran  (,)
92, 8eqeltrri 2513 . . 3  |-  (/)  e.  ran  (,)
101, 9syl6eqel 2530 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
11 n0 3622 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
12 eliooxr 11000 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
13 fnovrn 6250 . . . . . 6  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
145, 13mp3an1 1267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
1512, 14syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
1615exlimiv 1645 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  e.  ran  (,) )
1711, 16sylbi 189 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  e.  ran  (,) )
1810, 17pm2.61ine 2686 1  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   (/)c0 3613   ~Pcpw 3823    X. cxp 4905   ran crn 4908    Fn wfn 5478   -->wf 5479  (class class class)co 6110   RRcr 9020   0cc0 9021   RR*cxr 9150   (,)cioo 10947
This theorem is referenced by:  iooordt  17312  iooretop  18831  blssioo  18857  xrtgioo  18868  ioorinv2  19498  ioorinv  19499  uniioombllem2a  19505  ismbf  19551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-ioo 10951
  Copyright terms: Public domain W3C validator