MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorebas Unicode version

Theorem ioorebas 10745
Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorebas  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)

Proof of Theorem ioorebas
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
2 iooid 10684 . . . 4  |-  ( 0 (,) 0 )  =  (/)
3 ioof 10741 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 0xr 8878 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
7 fnovrn 5995 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  0  e.  RR*  /\  0  e. 
RR* )  ->  (
0 (,) 0 )  e.  ran  (,) )
85, 6, 6, 7mp3an 1277 . . . 4  |-  ( 0 (,) 0 )  e. 
ran  (,)
92, 8eqeltrri 2354 . . 3  |-  (/)  e.  ran  (,)
101, 9syl6eqel 2371 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
11 n0 3464 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
12 eliooxr 10709 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
13 fnovrn 5995 . . . . . 6  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
145, 13mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
1512, 14syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  e. 
ran  (,) )
1615exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  e.  ran  (,) )
1711, 16sylbi 187 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  e.  ran  (,) )
1810, 17pm2.61ine 2522 1  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866   (,)cioo 10656
This theorem is referenced by:  iooordt  16947  iooretop  18275  blssioo  18301  xrtgioo  18312  ioorinv2  18930  ioorinv  18931  uniioombllem2a  18937  ismbf  18985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-ioo 10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator