MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooretop Structured version   Unicode version

Theorem iooretop 18800
Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooretop  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )

Proof of Theorem iooretop
StepHypRef Expression
1 retopbas 18794 . . 3  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 bastg 17031 . . 3  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
4 ioorebas 11006 . 2  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
53, 4sselii 3345 1  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   (,)cioo 10916   topGenctg 13665   TopBasesctb 16962
This theorem is referenced by:  icccld  18801  icopnfcld  18802  iocmnfcld  18803  zcld  18844  iccntr  18852  reconnlem1  18857  reconnlem2  18858  icoopnst  18964  iocopnst  18965  dvlip  19877  dvlipcn  19878  dvivthlem1  19892  dvne0  19895  lhop2  19899  lhop  19900  dvfsumle  19905  dvfsumabs  19907  dvfsumlem2  19911  ftc1  19926  dvloglem  20539  advlog  20545  advlogexp  20546  cxpcn3  20632  loglesqr  20642  log2sumbnd  21238  dya2iocbrsiga  24625  dya2icobrsiga  24626  lgamgulmlem2  24814  ftc1cnnc  26279  dvreasin  26290  dvreacos  26291  areacirclem1  26292  rfcnpre1  27666  rfcnpre2  27678  itgsin0pilem1  27720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-ioo 10920  df-topgen 13667  df-bases 16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator