Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Unicode version

Theorem ioorinv 19468
 Description: The function is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1
Assertion
Ref Expression
ioorinv
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11002 . . . 4
2 ffn 5591 . . . 4
3 ovelrn 6222 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9
65ioorinv2 19467 . . . . . . . 8
76fveq2d 5732 . . . . . . 7
8 df-ov 6084 . . . . . . 7
97, 8syl6eqr 2486 . . . . . 6
10 df-ne 2601 . . . . . . . 8
11 neeq1 2609 . . . . . . . 8
1210, 11syl5bbr 251 . . . . . . 7
13 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5732 . . . . . . . 8
15 id 20 . . . . . . . 8
1614, 15eqeq12d 2450 . . . . . . 7
1712, 16imbi12d 312 . . . . . 6
189, 17mpbiri 225 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2019rexlimivv 2835 . . 3
214, 20sylbi 188 . 2
22 ioorebas 11006 . . . . . . 7
235ioorval 19466 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 8 . . . . . 6
25 iooid 10944 . . . . . . 7
26 iftrue 3745 . . . . . . 7
2725, 26ax-mp 8 . . . . . 6
2824, 27eqtri 2456 . . . . 5
2928fveq2i 5731 . . . 4
30 df-ov 6084 . . . 4
3129, 30eqtr4i 2459 . . 3
3225eqeq2i 2446 . . . . . 6
3332biimpri 198 . . . . 5
3433fveq2d 5732 . . . 4
3534fveq2d 5732 . . 3
3631, 35, 333eqtr4a 2494 . 2
3721, 36pm2.61d2 154 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  c0 3628  cif 3739  cpw 3799  cop 3817   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cr 8989  cc0 8990  cxr 9119   clt 9120  cioo 10916 This theorem is referenced by:  uniioombllem2  19475 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-ioo 10920
 Copyright terms: Public domain W3C validator