MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Unicode version

Theorem ioorinv2 19034
Description: The function  F is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
ioorinv2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 10837 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
2 ioorf.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
32ioorval 19033 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  ran  (,)  ->  ( F `  ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. ,  <. sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )
)
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
5 ifnefalse 3649 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
6 n0 3540 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
7 eliooxr 10801 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
87exlimiv 1634 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
96, 8sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
109simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  A  e.  RR* )
119simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  B  e.  RR* )
12 id 19 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
13 df-ioo 10752 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
14 idd 21 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
15 xrltle 10575 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
16 idd 21 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
17 xrltle 10575 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 10770 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
1910, 11, 12, 18syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 10769 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2110, 11, 12, 20syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2219, 21opeq12d 3885 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. A ,  B >. )
235, 22eqtrd 2390 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. A ,  B >. )
244, 23syl5eq 2402 1  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   (/)c0 3531   ifcif 3641   <.cop 3719   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   `'ccnv 4770   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   supcsup 7283   0cc0 8827   RR*cxr 8956    < clt 8957   (,)cioo 10748
This theorem is referenced by:  ioorinv  19035  ioorcl  19036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-ioo 10752
  Copyright terms: Public domain W3C validator