MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Unicode version

Theorem ioorinv2 19498
Description: The function  F is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
ioorinv2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 11037 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
2 ioorf.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
32ioorval 19497 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  ran  (,)  ->  ( F `  ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. ,  <. sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )
)
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( F `
 ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
5 ifnefalse 3771 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
6 n0 3622 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
7 eliooxr 11000 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
87exlimiv 1645 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
96, 8sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
109simpld 447 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  A  e.  RR* )
119simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  B  e.  RR* )
12 id 21 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
13 df-ioo 10951 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
14 idd 23 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
15 xrltle 10773 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
16 idd 23 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
17 xrltle 10773 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 10969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
1910, 11, 12, 18syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 10968 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2110, 11, 12, 20syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2219, 21opeq12d 4016 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. A ,  B >. )
235, 22eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. A ,  B >. )
244, 23syl5eq 2486 1  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   (/)c0 3613   ifcif 3763   <.cop 3841   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   ran crn 4908   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   supcsup 7474   0cc0 9021   RR*cxr 9150    < clt 9151   (,)cioo 10947
This theorem is referenced by:  ioorinv  19499  ioorcl  19500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-ioo 10951
  Copyright terms: Public domain W3C validator