MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Unicode version

Theorem ioorinv2 19424
Description: The function  F is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
ioorinv2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 10966 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
2 ioorf.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
32ioorval 19423 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  ran  (,)  ->  ( F `  ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. ,  <. sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )
)
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
5 ifnefalse 3711 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
6 n0 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
7 eliooxr 10929 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
87exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
96, 8sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
109simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  A  e.  RR* )
119simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  B  e.  RR* )
12 id 20 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
13 df-ioo 10880 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
14 idd 22 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
15 xrltle 10702 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
16 idd 22 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
17 xrltle 10702 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 10898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
1910, 11, 12, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 10897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2110, 11, 12, 20syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2219, 21opeq12d 3956 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. A ,  B >. )
235, 22eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. A ,  B >. )
244, 23syl5eq 2452 1  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   (/)c0 3592   ifcif 3703   <.cop 3781   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   ran crn 4842   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   0cc0 8950   RR*cxr 9079    < clt 9080   (,)cioo 10876
This theorem is referenced by:  ioorinv  19425  ioorcl  19426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-ioo 10880
  Copyright terms: Public domain W3C validator