MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss1 Structured version   Unicode version

Theorem iooss1 10943
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iooss1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10912 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrlelttr 10738 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  w )  ->  A  <  w
) )
31, 1, 2ixxss1 10926 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   (,)cioo 10908
This theorem is referenced by:  ioodisj  11018  tgqioo  18823  ioorcl2  19456  itg2gt0  19644  itgsplitioo  19721  ditgcl  19737  ditgswap  19738  ditgsplitlem  19739  dvferm1lem  19860  dvferm  19864  dvlip  19869  dvgt0lem1  19878  dvivthlem1  19884  lhop1lem  19889  lhop2  19891  dvcvx  19896  dvfsumle  19897  dvfsumge  19898  dvfsumabs  19899  ftc1lem1  19911  ftc1a  19913  ftc1lem4  19915  ftc2ditglem  19921  tanregt0  20433  basellem4  20858  pntlemp  21296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ioo 10912
  Copyright terms: Public domain W3C validator