MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Unicode version

Theorem iooss2 10952
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10920 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrltletr 10747 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  B  /\  B  <_  C )  ->  w  <  C
) )
31, 1, 2ixxss2 10935 1  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   (,)cioo 10916
This theorem is referenced by:  tgqioo  18831  ioorcl2  19464  itgsplitioo  19729  ditgcl  19745  ditgswap  19746  ditgsplitlem  19747  dvferm2lem  19870  dvferm  19872  dvlip  19877  dvgt0lem1  19886  dvivthlem1  19892  lhop1lem  19897  lhop1  19898  dvcvx  19904  dvfsumle  19905  dvfsumge  19906  dvfsumabs  19907  ftc1lem1  19919  ftc1lem2  19920  ftc1a  19921  ftc1lem4  19923  ftc2  19928  ftc2ditglem  19929  itgsubstlem  19932  ftc1anc  26288  ftc2nc  26289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ioo 10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator