MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Unicode version

Theorem ioossicc 10997
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10921 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 10924 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrltle 10743 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 xrltle 10743 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 10931 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    C_ wss 3321  (class class class)co 6082    < clt 9121    <_ cle 9122   (,)cioo 10917   [,]cicc 10920
This theorem is referenced by:  ioodisj  11027  iccntr  18853  ivth2  19353  ivthle  19354  ivthle2  19355  ovolioo  19463  uniiccvol  19473  itgioo  19708  rollelem  19874  rolle  19875  cmvth  19876  dvlip  19878  dvlipcn  19879  dvlip2  19880  c1liplem1  19881  dvle  19892  dvivthlem1  19893  dvne0  19896  lhop1lem  19898  dvcnvrelem1  19902  dvfsumle  19906  dvfsumge  19907  dvfsumabs  19908  dvfsumlem2  19912  ftc1a  19922  ftc1lem4  19924  ftc1lem5  19925  ftc1lem6  19926  ftc1  19927  ftc2  19929  itgparts  19932  itgsubstlem  19933  itgsubst  19934  reeff1olem  20363  efcvx  20366  tanord1  20440  logccv  20555  loglesqr  20643  chordthm  20679  amgmlem  20829  eliccioo  24178  xrge0mulc1cn  24328  lgamgulmlem2  24815  itg2gt0cn  26261  ftc1cnnclem  26279  ftc1cnnc  26280  ftc2nc  26290  areacirc  26298  ivthALT  26339  lhe4.4ex1a  27524  itgsin0pilem1  27721  iblioosinexp  27724  itgsinexplem1  27725  itgsinexp  27726  chordthmALT  29046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-ioo 10921  df-icc 10924
  Copyright terms: Public domain W3C validator