Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0i Unicode version

Theorem ip0i 21403
 Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1
ip1i.2
ip1i.4
ip1i.7
ip1i.9
ip1i.a
ip1i.b
ip1i.c
ip1i.6 CV
ip0i.j
Assertion
Ref Expression
ip0i

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . 4
2 ip1i.1 . . . . . . 7
3 ip1i.6 . . . . . . 7 CV
4 ip1i.9 . . . . . . . 8
54phnvi 21394 . . . . . . 7
6 ip1i.a . . . . . . . 8
7 ip0i.j . . . . . . . . 9
8 ip1i.c . . . . . . . . 9
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10
102, 9nvscl 21184 . . . . . . . . 9
115, 7, 8, 10mp3an 1277 . . . . . . . 8
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9
132, 12nvgcl 21176 . . . . . . . 8
145, 6, 11, 13mp3an 1277 . . . . . . 7
152, 3, 5, 14nvcli 21226 . . . . . 6
1615recni 8849 . . . . 5
1716sqcli 11184 . . . 4
187negcli 9114 . . . . . . . . 9
192, 9nvscl 21184 . . . . . . . . 9
205, 18, 8, 19mp3an 1277 . . . . . . . 8
212, 12nvgcl 21176 . . . . . . . 8
225, 6, 20, 21mp3an 1277 . . . . . . 7
232, 3, 5, 22nvcli 21226 . . . . . 6
2423recni 8849 . . . . 5
2524sqcli 11184 . . . 4
261, 17, 25subdii 9228 . . 3
271, 17mulcli 8842 . . . 4
281, 25mulcli 8842 . . . 4
29 ip1i.b . . . . . . . 8
302, 3, 5, 29nvcli 21226 . . . . . . 7
3130recni 8849 . . . . . 6
3231sqcli 11184 . . . . 5
331, 32mulcli 8842 . . . 4
34 pnpcan2 9087 . . . 4
3527, 28, 33, 34mp3an 1277 . . 3
3626, 35eqtr4i 2306 . 2
37 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
3837nvvc 21171 . . . . . . . . 9
3912vafval 21159 . . . . . . . . . 10
4039vcablo 21113 . . . . . . . . 9
415, 38, 40mp2b 9 . . . . . . . 8
426, 29, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . 8
432, 12bafval 21160 . . . . . . . . 9
4443ablo32 20953 . . . . . . . 8
4541, 42, 44mp2an 653 . . . . . . 7
4645fveq2i 5528 . . . . . 6
4746oveq1i 5868 . . . . 5
48 neg1cn 9813 . . . . . . . . . 10
492, 9nvscl 21184 . . . . . . . . . 10
505, 48, 29, 49mp3an 1277 . . . . . . . . 9
516, 50, 113pm3.2i 1130 . . . . . . . 8
5243ablo32 20953 . . . . . . . 8
5341, 51, 52mp2an 653 . . . . . . 7
5453fveq2i 5528 . . . . . 6
5554oveq1i 5868 . . . . 5
5647, 55oveq12i 5870 . . . 4
572, 12, 9, 3phpar 21402 . . . . 5
584, 14, 29, 57mp3an 1277 . . . 4
591, 17, 32adddii 8847 . . . 4
6056, 58, 593eqtri 2307 . . 3
616, 29, 203pm3.2i 1130 . . . . . . . 8
6243ablo32 20953 . . . . . . . 8
6341, 61, 62mp2an 653 . . . . . . 7
6463fveq2i 5528 . . . . . 6
6564oveq1i 5868 . . . . 5
666, 50, 203pm3.2i 1130 . . . . . . . 8
6743ablo32 20953 . . . . . . . 8
6841, 66, 67mp2an 653 . . . . . . 7
6968fveq2i 5528 . . . . . 6
7069oveq1i 5868 . . . . 5
7165, 70oveq12i 5870 . . . 4
722, 12, 9, 3phpar 21402 . . . . 5
734, 22, 29, 72mp3an 1277 . . . 4
741, 25, 32adddii 8847 . . . 4
7571, 73, 743eqtri 2307 . . 3
7660, 75oveq12i 5870 . 2
772, 12nvgcl 21176 . . . . . . . 8
785, 6, 29, 77mp3an 1277 . . . . . . 7
792, 12nvgcl 21176 . . . . . . 7
805, 78, 11, 79mp3an 1277 . . . . . 6
812, 3, 5, 80nvcli 21226 . . . . 5
8281recni 8849 . . . 4
8382sqcli 11184 . . 3
842, 12nvgcl 21176 . . . . . . . 8
855, 6, 50, 84mp3an 1277 . . . . . . 7
862, 12nvgcl 21176 . . . . . . 7
875, 85, 11, 86mp3an 1277 . . . . . 6
882, 3, 5, 87nvcli 21226 . . . . 5
8988recni 8849 . . . 4
9089sqcli 11184 . . 3
912, 12nvgcl 21176 . . . . . . 7
925, 78, 20, 91mp3an 1277 . . . . . 6
932, 3, 5, 92nvcli 21226 . . . . 5
9493recni 8849 . . . 4
9594sqcli 11184 . . 3
962, 12nvgcl 21176 . . . . . . 7
975, 85, 20, 96mp3an 1277 . . . . . 6
982, 3, 5, 97nvcli 21226 . . . . 5
9998recni 8849 . . . 4
10099sqcli 11184 . . 3
10183, 90, 95, 100addsub4i 9142 . 2
10236, 76, 1013eqtr2ri 2310 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  cc 8735  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   cmin 9037  cneg 9038  c2 9795  cexp 11104  cablo 20948  cvc 21101  cnv 21140  cpv 21141  cba 21142  cns 21143  CVcnmcv 21146  cdip 21273  ccphlo 21390 This theorem is referenced by:  ip1ilem  21404 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-ph 21391
 Copyright terms: Public domain W3C validator