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Theorem ip0i 21837
Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where  J is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip0i  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 9963 . . . 4  |-  2  e.  CC
2 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 ip1i.9 . . . . . . . 8  |-  U  e.  CPreHil
OLD
54phnvi 21828 . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
6 ip1i.a . . . . . . . 8  |-  A  e.  X
7 ip0i.j . . . . . . . . 9  |-  J  e.  CC
8 ip1i.c . . . . . . . . 9  |-  C  e.  X
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
102, 9nvscl 21618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  J  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( J S C )  e.  X )
115, 7, 8, 10mp3an 1278 . . . . . . . 8  |-  ( J S C )  e.  X
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
132, 12nvgcl 21610 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  ( A G ( J S C ) )  e.  X )
145, 6, 11, 13mp3an 1278 . . . . . . 7  |-  ( A G ( J S C ) )  e.  X
152, 3, 5, 14nvcli 21660 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A G ( J S C ) ) )  e.  RR
1615recni 8996 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A G ( J S C ) ) )  e.  CC
1716sqcli 11349 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
187negcli 9261 . . . . . . . . 9  |-  -u J  e.  CC
192, 9nvscl 21618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u J  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u J S C )  e.  X )
205, 18, 8, 19mp3an 1278 . . . . . . . 8  |-  ( -u J S C )  e.  X
212, 12nvgcl 21610 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u J S C ) )  e.  X
)
225, 6, 20, 21mp3an 1278 . . . . . . 7  |-  ( A G ( -u J S C ) )  e.  X
232, 3, 5, 22nvcli 21660 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
2423recni 8996 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
2524sqcli 11349 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
261, 17, 25subdii 9375 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
271, 17mulcli 8989 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  e.  CC
281, 25mulcli 8989 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
29 ip1i.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
302, 3, 5, 29nvcli 21660 . . . . . . 7  |-  ( N `
 B )  e.  RR
3130recni 8996 . . . . . 6  |-  ( N `
 B )  e.  CC
3231sqcli 11349 . . . . 5  |-  ( ( N `  B ) ^ 2 )  e.  CC
331, 32mulcli 8989 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) )  e.  CC
34 pnpcan2 9234 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
( N `  B
) ^ 2 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3527, 28, 33, 34mp3an 1278 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
3626, 35eqtr4i 2389 . 2  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) ) )
37 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  U )
3837nvvc 21605 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD )
3912vafval 21593 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
4039vcablo 21547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  U )  e.  CVec OLD  ->  G  e. 
AbelOp )
415, 38, 40mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
AbelOp
426, 29, 113pm3.2i 1131 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )
432, 12bafval 21594 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
4443ablo32 21385 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) )
4541, 42, 44mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G B )
4645fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G B ) )
4746oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )
48 neg1cn 9960 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
492, 9nvscl 21618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
505, 48, 29, 49mp3an 1278 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
516, 50, 113pm3.2i 1131 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )
5243ablo32 21385 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) )
5341, 51, 52mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) )  =  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
5453fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) )
5554oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
5647, 55oveq12i 5993 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
572, 12, 9, 3phpar 21836 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A G ( J S C ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  B
) ^ 2 ) ) ) )
584, 14, 29, 57mp3an 1278 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( J S C ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  B
) ^ 2 ) ) )
591, 17, 32adddii 8994 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
6056, 58, 593eqtri 2390 . . 3  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
616, 29, 203pm3.2i 1131 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )
6243ablo32 21385 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
6341, 61, 62mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B )
6463fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  =  ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
6564oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^
2 )
666, 50, 203pm3.2i 1131 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )
6743ablo32 21385 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X ) )  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
6841, 66, 67mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  =  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
6968fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  =  ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
7069oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
7165, 70oveq12i 5993 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
722, 12, 9, 3phpar 21836 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A G ( -u J S C ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A G (
-u J S C ) ) G (
-u 1 S B ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
734, 22, 29, 72mp3an 1278 . . . 4  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
741, 25, 32adddii 8994 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) )
7571, 73, 743eqtri 2390 . . 3  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )
7660, 75oveq12i 5993 . 2  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `  B ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( N `
 B ) ^
2 ) ) ) )
772, 12nvgcl 21610 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
785, 6, 29, 77mp3an 1278 . . . . . . 7  |-  ( A G B )  e.  X
792, 12nvgcl 21610 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( J S C ) )  e.  X )
805, 78, 11, 79mp3an 1278 . . . . . 6  |-  ( ( A G B ) G ( J S C ) )  e.  X
812, 3, 5, 80nvcli 21660 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  e.  RR
8281recni 8996 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( J S C ) ) )  e.  CC
8382sqcli 11349 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
842, 12nvgcl 21610 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
855, 6, 50, 84mp3an 1278 . . . . . . 7  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
862, 12nvgcl 21610 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( J S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( J S C ) )  e.  X )
875, 85, 11, 86mp3an 1278 . . . . . 6  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) )  e.  X
882, 3, 5, 87nvcli 21660 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  e.  RR
8988recni 8996 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) )  e.  CC
9089sqcli 11349 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
912, 12nvgcl 21610 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u J S C ) )  e.  X )
925, 78, 20, 91mp3an 1278 . . . . . 6  |-  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) )  e.  X
932, 3, 5, 92nvcli 21660 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
9493recni 8996 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
9594sqcli 11349 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
962, 12nvgcl 21610 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u J S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u J S C ) )  e.  X
)
975, 85, 20, 96mp3an 1278 . . . . . 6  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) )  e.  X
982, 3, 5, 97nvcli 21660 . . . . 5  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  e.  RR
9998recni 8996 . . . 4  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) )  e.  CC
10099sqcli 11349 . . 3  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10183, 90, 95, 100addsub4i 9289 . 2  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
10236, 76, 1013eqtr2ri 2393 1  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1stc1st 6247   CCcc 8882   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    - cmin 9184   -ucneg 9185   2c2 9942   ^cexp 11269   AbelOpcablo 21380   CVec
OLDcvc 21535   NrmCVeccnv 21574   +vcpv 21575   BaseSetcba 21576   .s
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This theorem is referenced by:  ip1ilem  21838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-seq 11211  df-exp 11270  df-grpo 21290  df-ablo 21381  df-vc 21536  df-nv 21582  df-va 21585  df-ba 21586  df-sm 21587  df-0v 21588  df-nmcv 21590  df-ph 21825
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