MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Unicode version

Theorem ip0r 16792
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0r  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  Z )

Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.z . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
5 ip0l.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
61, 2, 3, 4, 5ip0l 16791 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
76fveq2d 5673 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 Z ) )
8 phllmod 16785 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
103, 5lmod0vcl 15907 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
12 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
131, 2, 3, 12ipcj 16789 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  .0.  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
14133expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  .0.  e.  V )  /\  A  e.  V
)  ->  ( (
* r `  F
) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
1514an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  /\  .0.  e.  V
)  ->  ( (
* r `  F
) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
1611, 15mpdan 650 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
171phlsrng 16786 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
1817adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  *Ring )
1912, 4srng0 15876 . . 3  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( (
* r `  F
) `  Z )  =  Z )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  Z
)  =  Z )
217, 16, 203eqtr3d 2428 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   * rcstv 13459  Scalarcsca 13460   .icip 13462   0gc0g 13651   *Ringcsr 15860   LModclmod 15878   PreHilcphl 16779
This theorem is referenced by:  cphip0r  19037  ipcau2  19063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-grp 14740  df-ghm 14932  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-rnghom 15747  df-staf 15861  df-srng 15862  df-lmod 15880  df-lmhm 16026  df-lvec 16103  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-phl 16781
  Copyright terms: Public domain W3C validator