Theorem ip1cnilem2 8374

Description: Lemma for ip1cni 8379.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1cni.1	|- X = (Base` U)
ip1cni.2	|- G = (+v` U)
ip1cni.7	|- P = (.i` U)
ip1cni.8	|- C = (IndMet` U)
ip1cni.d	|- D = (abs o. - )
ip1cni.j	|- J = (Open` C)
ip1cni.k	|- K = (Open` D)
ip1cni.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
ip1cni.9	|- U e. NrmCVec
ip1cni.a	|- A e. X
ip1cnilem.4	|- S = (.s` U)
ip1cnilem.6	|- N = (norm` U)
ip1cnilem.13	|- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}

Assertion

Ref	Expression
ip1cnilem2	|- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   t,k,u,v,w,A   u,C,w   u,D,w   k,G,t,u,v,w   v,H,w   k,J,u,w   k,K,u,w   k,N,t,u,v,w   S,k,t,u,v,w   U,k,t,u,v,w   k,X,t,u,v,w

Proof of Theorem ip1cnilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1cni.9	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
2		ip1cni.1	. . . . . . . . 9 |- X = (Base` U)
3		ip1cni.2	. . . . . . . . 9 |- G = (+v` U)
4	2, 3	nvgcl 8239	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
5	1, 4	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
6		nnnn0t 6106	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
7		axicn 5270	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
8		expclt 6581	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
10		ip1cni.a	. . . . . . . . 9 |- A e. X
11		ip1cnilem.4	. . . . . . . . . 10 |- S = (.s` U)
12	2, 11	nvscl 8247	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (i^k) e. CC /\ A e. X) -> ((i^k)SA) e. X)
13	1, 10, 12	mp3an13 907	. . . . . . . 8 |- ((i^k) e. CC -> ((i^k)SA) e. X)
14	6, 9, 13	3syl 20	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((i^k)SA) e. X)
15	5, 14	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((u e. X /\ k e. NN) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
16	15	ancoms 436	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
17	16	r19.21aiva 1714	. . . 4 |- (k e. NN -> A.u e. X (uG((i^k)SA)) e. X)
18		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}
19		oprex 3983	. . . . 5 |- (uG((i^k)SA)) e. V
20	18, 19	rnssopab 3825	. . . 4 |- (A.u e. X (uG((i^k)SA)) e. X <-> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X)
21	17, 20	sylib 198	. . 3 |- (k e. NN -> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X)
22		fvex 3732	. . . 4 |- (N` a) e. V
23		fvex 3732	. . . 4 |- (N` (uG((i^k)SA))) e. V
24		fveq2 3724	. . . 4 |- (a = (uG((i^k)SA)) -> (N` a) = (N` (uG((i^k)SA))))
25		ip1cnilem.6	. . . . . . . 8 |- N = (norm` U)
26	2, 25	nvf 8286	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
27	1, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- N:X-->RR
28		ffn 3627	. . . . . 6 |- (N:X-->RR -> N Fn X)
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . 5 |- N Fn X
30		fnopabfv 3758	. . . . 5 |- (N Fn X <-> N = {<.a, b>. | (a e. X /\ b = (N` a))})
31	29, 30	mpbi 189	. . . 4 |- N = {<.a, b>. | (a e. X /\ b = (N` a))}
32		ip1cnilem.13	. . . 4 |- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}
33	19, 22, 23, 24, 18, 31, 32	fopabco 3832	. . 3 |- (ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} (_ X -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) = H)
34	21, 33	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) = H)
35		ip1cni.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
36		ip1cni.8	. . . 4 |- C = (IndMet` U)
37		ip1cni.d	. . . 4 |- D = (abs o. - )
38		ip1cni.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
39		ip1cni.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
40		ip1cni.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
41	2, 3, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 1, 10, 11, 25, 18	ip1cnilem1 8373	. . 3 |- (k e. NN -> {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J))
42	25, 36, 37, 38, 39	nmcnc 8342	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> N e. (J Cn K))
43	1, 42	ax-mp 7	. . . 4 |- N e. (J Cn K)
44	36	imsmet 8324	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
45	1, 44	ax-mp 7	. . . . . 6 |- C e. Met
46	37	cnmet 7904	. . . . . 6 |- D e. Met
47	45, 45, 46	3pm3.2i 818	. . . . 5 |- (C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met)
48	38, 38, 39	metcnco 7897	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) /\ N e. (J Cn K))) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
49	47, 48	mpan 695	. . . 4 |- (({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) /\ N e. (J Cn K)) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
50	43, 49	mpan2 696	. . 3 |- ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))} e. (J Cn J) -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
51	41, 50	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> (N o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (uG((i^k)SA)))}) e. (J Cn K))
52	34, 51	eqeltrrd 1549	1 |- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  {copab 2666  ran crn 3171   o. ccom 3174   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  ici 5236   - cmin 5292  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ^cexp 6568  abscabs 6750   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  normcnm 8209  IndMetcims 8210  .icip 8349

This theorem is referenced by:  ip1cnilem3 8375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220

Copyright terms: Public domain