Theorem ip1cnilem3 8371

Description: Lemma for ip1cni 8375.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1cni.1	|- X = (Base` U)
ip1cni.2	|- G = (+v` U)
ip1cni.7	|- P = (.i` U)
ip1cni.8	|- C = (IndMet` U)
ip1cni.d	|- D = (abs o. - )
ip1cni.j	|- J = (Open` C)
ip1cni.k	|- K = (Open` D)
ip1cni.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
ip1cni.9	|- U e. NrmCVec
ip1cni.a	|- A e. X
ip1cnilem.4	|- S = (.s` U)
ip1cnilem.6	|- N = (norm` U)
ip1cnilem.14	|- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))}

Assertion

Ref	Expression
ip1cnilem3	|- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   t,k,u,v,w,A   u,C,w   u,D,w   k,G,t,u,v,w   v,H,w   k,J,u,w   k,K,u,w   k,N,t,u,v,w   S,k,t,u,v,w   U,k,t,u,v,w   k,X,t,u,v,w

Proof of Theorem ip1cnilem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1cni.9	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
2		ip1cni.1	. . . . . . . . . 10 |- X = (Base` U)
3		ip1cni.2	. . . . . . . . . 10 |- G = (+v` U)
4	2, 3	nvgcl 8235	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
5	1, 4	mp3an1 905	. . . . . . . 8 |- ((u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
6		nnnn0t 6108	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> k e. NN0)
7		axicn 5282	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
8		expclt 6582	. . . . . . . . . 10 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 697	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
10		ip1cni.a	. . . . . . . . . 10 |- A e. X
11		ip1cnilem.4	. . . . . . . . . . 11 |- S = (.s` U)
12	2, 11	nvscl 8243	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (i^k) e. CC /\ A e. X) -> ((i^k)SA) e. X)
13	1, 10, 12	mp3an13 909	. . . . . . . . 9 |- ((i^k) e. CC -> ((i^k)SA) e. X)
14	6, 9, 13	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((i^k)SA) e. X)
15	5, 14	sylan2 453	. . . . . . 7 |- ((u e. X /\ k e. NN) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
16	15	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
17		ip1cnilem.6	. . . . . . . . 9 |- N = (norm` U)
18	2, 17	nvcl 8283	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (uG((i^k)SA)) e. X) -> (N` (uG((i^k)SA))) e. RR)
19	1, 18	mpan 697	. . . . . . 7 |- ((uG((i^k)SA)) e. X -> (N` (uG((i^k)SA))) e. RR)
20	19	recnd 5327	. . . . . 6 |- ((uG((i^k)SA)) e. X -> (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
21	16, 20	syl 10	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
22	21	r19.21aiva 1717	. . . 4 |- (k e. NN -> A.u e. X (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
23		eqid 1478	. . . . 5 |- {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}
24		fvex 3738	. . . . 5 |- (N` (uG((i^k)SA))) e. V
25	23, 24	rnssopab 3831	. . . 4 |- (A.u e. X (N` (uG((i^k)SA))) e. CC <-> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC)
26	22, 25	sylib 198	. . 3 |- (k e. NN -> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC)
27		oprex 3989	. . . 4 |- (a^2) e. V
28		oprex 3989	. . . 4 |- ((N` (uG((i^k)SA)))^2) e. V
29		opreq1 3974	. . . 4 |- (a = (N` (uG((i^k)SA))) -> (a^2) = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))
30		eqid 1478	. . . 4 |- {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} = {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))}
31		ip1cnilem.14	. . . 4 |- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))}
32	24, 27, 28, 29, 23, 30, 31	fopabco 3838	. . 3 |- (ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) = H)
33	26, 32	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) = H)
34		ip1cni.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
35		ip1cni.8	. . . 4 |- C = (IndMet` U)
36		ip1cni.d	. . . 4 |- D = (abs o. - )
37		ip1cni.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
38		ip1cni.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
39		ip1cni.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
40	2, 3, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 1, 10, 11, 17, 23	ip1cnilem2 8370	. . 3 |- (k e. NN -> {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K))
41	36, 38, 30	sqcn2 8332	. . . 4 |- {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K)
42	35	imsmet 8320	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
43	1, 42	ax-mp 7	. . . . . 6 |- C e. Met
44	36	cnmet 7901	. . . . . 6 |- D e. Met
45	43, 44, 44	3pm3.2i 820	. . . . 5 |- (C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met)
46	37, 38, 38	metcnco 7894	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met) /\ ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) /\ {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K))) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
47	45, 46	mpan 697	. . . 4 |- (({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) /\ {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K)) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
48	41, 47	mpan2 698	. . 3 |- ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
49	40, 48	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
50	33, 49	eqeltrrd 1552	1 |- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  {copab 2671  ran crn 3177   o. ccom 3180  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  ici 5248   - cmin 5304  NNcn 5308  NN0cn0 5309  2c2 5963  ^cexp 6569  abscabs 6751   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  normcnm 8205  IndMetcims 8206  .icip 8345

This theorem is referenced by:  ip1cnilem4 8372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul