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Theorem ip1ilem 21404
Description: Lemma for ip1i 21405. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip1ilem  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1ilem
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 21394 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip1i.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.c . . . . . 6  |-  C  e.  X
5 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
7 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
8 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
105, 6, 7, 8, 94ipval2 21281 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
112, 3, 4, 10mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1211oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( N `
 ( A G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13 2cn 9816 . . . . 5  |-  2  e.  CC
14 4cn 9820 . . . . 5  |-  4  e.  CC
155, 9dipcl 21288 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
162, 3, 4, 15mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( A P C )  e.  CC
1713, 14, 16mul12i 9007 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 4  x.  (
2  x.  ( A P C ) ) )
185, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
192, 3, 4, 18mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G C )  e.  X
205, 8, 2, 19nvcli 21226 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G C ) )  e.  RR
2120resqcli 11189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
2221recni 8849 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
23 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2423negcli 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  CC
255, 7nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u 1 S C )  e.  X )
262, 24, 4, 25mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S C )  e.  X
275, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
282, 3, 26, 27mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G ( -u 1 S C ) )  e.  X
295, 8, 2, 28nvcli 21226 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
3029resqcli 11189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
3130recni 8849 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3222, 31subcli 9122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
33 ax-icn 8796 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
345, 7nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  (
_i S C )  e.  X )
352, 33, 4, 34mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i S C )  e.  X
365, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
_i S C )  e.  X )  -> 
( A G ( _i S C ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( _i S C ) )  e.  X
385, 8, 2, 37nvcli 21226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) )  e.  RR
3938resqcli 11189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4039recni 8849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4133negcli 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
425, 7nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u _i S C )  e.  X )
432, 41, 4, 42mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i S C )  e.  X
445, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( -u _i S C ) )  e.  X
465, 8, 2, 45nvcli 21226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
4746resqcli 11189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4847recni 8849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4940, 48subcli 9122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
5033, 49mulcli 8842 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5113, 32, 50adddii 8847 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52 ip1i.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
535, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23ip0i 21403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
545, 7nvsid 21185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X )  ->  (
1 S C )  =  C )
552, 4, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S C )  =  C
5655oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G B ) G C )
5756fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G B ) G C ) )
5857oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )
5958oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6055oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C )
6160fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) )
6261oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )
6362oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6459, 63oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
6555oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( 1 S C ) )  =  ( A G C )
6665fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  ( A G C ) )
6766oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )
6867oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )
6968oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7053, 64, 693eqtr3i 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
715, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33ip0i 21403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7271oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
735, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
742, 3, 52, 73mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G B )  e.  X
755, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X )
762, 74, 35, 75mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X
775, 8, 2, 76nvcli 21226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
7877resqcli 11189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
7978recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
805, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X )
812, 74, 43, 80mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
825, 8, 2, 81nvcli 21226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
8382resqcli 11189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
8579, 84subcli 9122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
865, 7nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
872, 24, 52, 86mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
885, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
892, 3, 87, 88mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
905, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X )
912, 89, 35, 90mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X
925, 8, 2, 91nvcli 21226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
9392resqcli 11189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9493recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
955, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
962, 89, 43, 95mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
975, 8, 2, 96nvcli 21226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
9897resqcli 11189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9998recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10094, 99subcli 9122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
10133, 85, 100adddii 8847 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10233, 13, 49mul12i 9007 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10372, 101, 1023eqtr3i 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10470, 103oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10551, 104eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1065, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) G C )  e.  X )
1072, 74, 4, 106mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G C )  e.  X
1085, 8, 2, 107nvcli 21226 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G C ) )  e.  RR
109108resqcli 11189 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
110109recni 8849 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1115, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
1122, 74, 26, 111mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X
1135, 8, 2, 112nvcli 21226 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
114113resqcli 11189 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
115114recni 8849 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
116110, 115subcli 9122 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
1175, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C )  e.  X )
1182, 89, 4, 117mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C )  e.  X
1195, 8, 2, 118nvcli 21226 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) )  e.  RR
120119resqcli 11189 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
121120recni 8849 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1225, 6nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X )
1232, 89, 26, 122mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) )  e.  X
1245, 8, 2, 123nvcli 21226 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
125124resqcli 11189 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
126125recni 8849 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
127121, 126subcli 9122 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
12833, 85mulcli 8842 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC
12933, 100mulcli 8842 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
130116, 127, 128, 129add4i 9031 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1315, 9dipcl 21288 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  e.  CC )
1322, 74, 4, 131mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) P C )  e.  CC
1335, 9dipcl 21288 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C )  e.  CC )
1342, 89, 4, 133mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C )  e.  CC
13514, 132, 134adddii 8847 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
1365, 6, 7, 8, 94ipval2 21281 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1372, 74, 4, 136mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1385, 6, 7, 8, 94ipval2 21281 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1392, 89, 4, 138mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) )
140137, 139oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
141135, 140eqtr2i 2304 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )
142105, 130, 1413eqtri 2307 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
14312, 17, 1423eqtr3ri 2312 . . 3  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )
144143oveq1i 5868 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )
145132, 134addcli 8841 . . 3  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  e.  CC
146 4re 9819 . . . 4  |-  4  e.  RR
147 4pos 9832 . . . 4  |-  0  <  4
148146, 147gt0ne0ii 9309 . . 3  |-  4  =/=  0
149145, 14, 148divcan3i 9506 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) )
15013, 16mulcli 8842 . . 3  |-  ( 2  x.  ( A P C ) )  e.  CC
151150, 14, 148divcan3i 9506 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
152144, 149, 1513eqtr3i 2311 1  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   ^cexp 11104   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   normCVcnmcv 21146   .i OLDcdip 21273   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  ip1i  21405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-dip 21274  df-ph 21391
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