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Theorem ip1ilem 21459
Description: Lemma for ip1i 21460. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip1ilem  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1ilem
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 21449 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip1i.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.c . . . . . 6  |-  C  e.  X
5 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
7 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
8 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
105, 6, 7, 8, 94ipval2 21336 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
112, 3, 4, 10mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1211oveq2i 5911 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( N `
 ( A G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13 2cn 9861 . . . . 5  |-  2  e.  CC
14 4cn 9865 . . . . 5  |-  4  e.  CC
155, 9dipcl 21343 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
162, 3, 4, 15mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( A P C )  e.  CC
1713, 14, 16mul12i 9052 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 4  x.  (
2  x.  ( A P C ) ) )
185, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
192, 3, 4, 18mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G C )  e.  X
205, 8, 2, 19nvcli 21281 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G C ) )  e.  RR
2120resqcli 11236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
2221recni 8894 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
23 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2423negcli 9159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  CC
255, 7nvscl 21239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u 1 S C )  e.  X )
262, 24, 4, 25mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S C )  e.  X
275, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
282, 3, 26, 27mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G ( -u 1 S C ) )  e.  X
295, 8, 2, 28nvcli 21281 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
3029resqcli 11236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
3130recni 8894 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3222, 31subcli 9167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
33 ax-icn 8841 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
345, 7nvscl 21239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  (
_i S C )  e.  X )
352, 33, 4, 34mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i S C )  e.  X
365, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
_i S C )  e.  X )  -> 
( A G ( _i S C ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( _i S C ) )  e.  X
385, 8, 2, 37nvcli 21281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) )  e.  RR
3938resqcli 11236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4039recni 8894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4133negcli 9159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
425, 7nvscl 21239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u _i S C )  e.  X )
432, 41, 4, 42mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i S C )  e.  X
445, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( -u _i S C ) )  e.  X
465, 8, 2, 45nvcli 21281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
4746resqcli 11236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4847recni 8894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4940, 48subcli 9167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
5033, 49mulcli 8887 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5113, 32, 50adddii 8892 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52 ip1i.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
535, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23ip0i 21458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
545, 7nvsid 21240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X )  ->  (
1 S C )  =  C )
552, 4, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S C )  =  C
5655oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G B ) G C )
5756fveq2i 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G B ) G C ) )
5857oveq1i 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )
5958oveq1i 5910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6055oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C )
6160fveq2i 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) )
6261oveq1i 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )
6362oveq1i 5910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6459, 63oveq12i 5912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
6555oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( 1 S C ) )  =  ( A G C )
6665fveq2i 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  ( A G C ) )
6766oveq1i 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )
6867oveq1i 5910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )
6968oveq2i 5911 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7053, 64, 693eqtr3i 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
715, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33ip0i 21458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7271oveq2i 5911 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
735, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
742, 3, 52, 73mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G B )  e.  X
755, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X )
762, 74, 35, 75mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X
775, 8, 2, 76nvcli 21281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
7877resqcli 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
7978recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
805, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X )
812, 74, 43, 80mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
825, 8, 2, 81nvcli 21281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
8382resqcli 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
8579, 84subcli 9167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
865, 7nvscl 21239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
872, 24, 52, 86mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
885, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
892, 3, 87, 88mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
905, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X )
912, 89, 35, 90mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X
925, 8, 2, 91nvcli 21281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
9392resqcli 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9493recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
955, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
962, 89, 43, 95mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
975, 8, 2, 96nvcli 21281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
9897resqcli 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9998recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10094, 99subcli 9167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
10133, 85, 100adddii 8892 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10233, 13, 49mul12i 9052 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10372, 101, 1023eqtr3i 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10470, 103oveq12i 5912 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10551, 104eqtr4i 2339 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1065, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) G C )  e.  X )
1072, 74, 4, 106mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G C )  e.  X
1085, 8, 2, 107nvcli 21281 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G C ) )  e.  RR
109108resqcli 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
110109recni 8894 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1115, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
1122, 74, 26, 111mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X
1135, 8, 2, 112nvcli 21281 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
114113resqcli 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
115114recni 8894 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
116110, 115subcli 9167 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
1175, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C )  e.  X )
1182, 89, 4, 117mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C )  e.  X
1195, 8, 2, 118nvcli 21281 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) )  e.  RR
120119resqcli 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
121120recni 8894 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1225, 6nvgcl 21231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X )
1232, 89, 26, 122mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) )  e.  X
1245, 8, 2, 123nvcli 21281 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
125124resqcli 11236 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
126125recni 8894 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
127121, 126subcli 9167 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
12833, 85mulcli 8887 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC
12933, 100mulcli 8887 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
130116, 127, 128, 129add4i 9076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1315, 9dipcl 21343 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  e.  CC )
1322, 74, 4, 131mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) P C )  e.  CC
1335, 9dipcl 21343 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C )  e.  CC )
1342, 89, 4, 133mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C )  e.  CC
13514, 132, 134adddii 8892 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
1365, 6, 7, 8, 94ipval2 21336 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1372, 74, 4, 136mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1385, 6, 7, 8, 94ipval2 21336 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1392, 89, 4, 138mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) )
140137, 139oveq12i 5912 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
141135, 140eqtr2i 2337 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )
142105, 130, 1413eqtri 2340 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
14312, 17, 1423eqtr3ri 2345 . . 3  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )
144143oveq1i 5910 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )
145132, 134addcli 8886 . . 3  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  e.  CC
146 4re 9864 . . . 4  |-  4  e.  RR
147 4pos 9877 . . . 4  |-  0  <  4
148146, 147gt0ne0ii 9354 . . 3  |-  4  =/=  0
149145, 14, 148divcan3i 9551 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) )
15013, 16mulcli 8887 . . 3  |-  ( 2  x.  ( A P C ) )  e.  CC
151150, 14, 148divcan3i 9551 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
152144, 149, 1513eqtr3i 2344 1  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   1c1 8783   _ici 8784    + caddc 8785    x. cmul 8787    - cmin 9082   -ucneg 9083    / cdiv 9468   2c2 9840   4c4 9842   ^cexp 11151   NrmCVeccnv 21195   +vcpv 21196   BaseSetcba 21197   .s
OLDcns 21198   normCVcnmcv 21201   .i OLDcdip 21328   CPreHil OLDccphlo 21445
This theorem is referenced by:  ip1i  21460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-grpo 20911  df-ablo 21002  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-nmcv 21211  df-dip 21329  df-ph 21446
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