MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2dii Unicode version

Theorem ip2dii 21477
Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2dii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2dii.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip2dii.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip2dii.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip2dii.a  |-  A  e.  X
ip2dii.b  |-  B  e.  X
ip2dii.c  |-  C  e.  X
ip2dii.d  |-  D  e.  X
Assertion
Ref Expression
ip2dii  |-  ( ( A G B ) P ( C G D ) )  =  ( ( ( A P C )  +  ( B P D ) )  +  ( ( A P D )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ip2dii
StepHypRef Expression
1 ip2dii.u . . . 4  |-  U  e.  CPreHil
OLD
2 ip2dii.a . . . . 5  |-  A  e.  X
3 ip2dii.c . . . . 5  |-  C  e.  X
4 ip2dii.d . . . . 5  |-  D  e.  X
52, 3, 43pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )
6 ip2dii.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip2dii.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
8 ip2dii.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
96, 7, 8dipdi 21476 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( A P ( C G D ) )  =  ( ( A P C )  +  ( A P D ) ) )
101, 5, 9mp2an 653 . . 3  |-  ( A P ( C G D ) )  =  ( ( A P C )  +  ( A P D ) )
11 ip2dii.b . . . . 5  |-  B  e.  X
1211, 3, 43pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )
136, 7, 8dipdi 21476 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( B P ( C G D ) )  =  ( ( B P C )  +  ( B P D ) ) )
141, 12, 13mp2an 653 . . 3  |-  ( B P ( C G D ) )  =  ( ( B P C )  +  ( B P D ) )
1510, 14oveq12i 5912 . 2  |-  ( ( A P ( C G D ) )  +  ( B P ( C G D ) ) )  =  ( ( ( A P C )  +  ( A P D ) )  +  ( ( B P C )  +  ( B P D ) ) )
161phnvi 21449 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
176, 7nvgcl 21231 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C G D )  e.  X )
1816, 3, 4, 17mp3an 1277 . . . 4  |-  ( C G D )  e.  X
192, 11, 183pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( C G D )  e.  X )
206, 7, 8dipdir 21475 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( C G D )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) P ( C G D ) )  =  ( ( A P ( C G D ) )  +  ( B P ( C G D ) ) ) )
211, 19, 20mp2an 653 . 2  |-  ( ( A G B ) P ( C G D ) )  =  ( ( A P ( C G D ) )  +  ( B P ( C G D ) ) )
226, 8dipcl 21343 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
2316, 2, 3, 22mp3an 1277 . . 3  |-  ( A P C )  e.  CC
246, 8dipcl 21343 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( B P D )  e.  CC )
2516, 11, 4, 24mp3an 1277 . . 3  |-  ( B P D )  e.  CC
266, 8dipcl 21343 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( A P D )  e.  CC )
2716, 2, 4, 26mp3an 1277 . . 3  |-  ( A P D )  e.  CC
286, 8dipcl 21343 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B P C )  e.  CC )
2916, 11, 3, 28mp3an 1277 . . 3  |-  ( B P C )  e.  CC
3023, 25, 27, 29add42i 9077 . 2  |-  ( ( ( A P C )  +  ( B P D ) )  +  ( ( A P D )  +  ( B P C ) ) )  =  ( ( ( A P C )  +  ( A P D ) )  +  ( ( B P C )  +  ( B P D ) ) )
3115, 21, 303eqtr4i 2346 1  |-  ( ( A G B ) P ( C G D ) )  =  ( ( ( A P C )  +  ( B P D ) )  +  ( ( A P D )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780    + caddc 8785   NrmCVeccnv 21195   +vcpv 21196   BaseSetcba 21197   .i
OLDcdip 21328   CPreHil OLDccphlo 21445
This theorem is referenced by:  pythi  21483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-ablo 21002  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-nmcv 21211  df-dip 21329  df-ph 21446
  Copyright terms: Public domain W3C validator