Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Unicode version

Theorem ip2eq 16885
 Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h
ip2eq.v
Assertion
Ref Expression
ip2eq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 6090 . . 3
21ralrimivw 2791 . 2
3 phllmod 16862 . . . . 5
4 ip2eq.v . . . . . 6
5 eqid 2437 . . . . . 6
64, 5lmodvsubcl 15990 . . . . 5
73, 6syl3an1 1218 . . . 4
8 oveq1 6089 . . . . . 6
9 oveq1 6089 . . . . . 6
108, 9eqeq12d 2451 . . . . 5
1110rspcv 3049 . . . 4
127, 11syl 16 . . 3
13 simp1 958 . . . . . . 7
14 simp2 959 . . . . . . 7
15 simp3 960 . . . . . . 7
16 eqid 2437 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
17 ip2eq.h . . . . . . . 8
18 eqid 2437 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 16875 . . . . . . 7 Scalar
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1187 . . . . . 6 Scalar
2120eqeq1d 2445 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
22 eqid 2437 . . . . . . 7 Scalar Scalar
23 eqid 2437 . . . . . . 7
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 16870 . . . . . 6 Scalar
2513, 7, 24syl2anc 644 . . . . 5 Scalar
2621, 25bitr3d 248 . . . 4 Scalar Scalar
2733ad2ant1 979 . . . . . 6
2816lmodfgrp 15960 . . . . . 6 Scalar
2927, 28syl 16 . . . . 5 Scalar
30 eqid 2437 . . . . . . 7 Scalar Scalar
3116, 17, 4, 30ipcl 16865 . . . . . 6 Scalar
3213, 7, 14, 31syl3anc 1185 . . . . 5 Scalar
3316, 17, 4, 30ipcl 16865 . . . . . 6 Scalar
3413, 7, 15, 33syl3anc 1185 . . . . 5 Scalar
3530, 22, 18grpsubeq0 14876 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
3629, 32, 34, 35syl3anc 1185 . . . 4 Scalar Scalar
37 lmodgrp 15958 . . . . . 6
383, 37syl 16 . . . . 5
394, 23, 5grpsubeq0 14876 . . . . 5
4038, 39syl3an1 1218 . . . 4
4126, 36, 403bitr3d 276 . . 3
4212, 41sylibd 207 . 2
432, 42impbid2 197 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  cfv 5455  (class class class)co 6082  cbs 13470  Scalarcsca 13533  cip 13535  c0g 13724  cgrp 14686  csg 14689  clmod 15951  cphl 16856 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-ghm 15005  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-rnghom 15820  df-staf 15934  df-srng 15935  df-lmod 15953  df-lmhm 16099  df-lvec 16176  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-phl 16858
 Copyright terms: Public domain W3C validator