MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Unicode version

Theorem ip2eqi 22358
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2eqi.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip2eqi.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, P    x, U    x, X

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 22317 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
53, 4nvmcl 22128 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )
62, 5mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X )
7 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P A )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A ) )
8 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P B )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) )
97, 8eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
( x P A )  =  ( x P B )  <->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
109rspcv 3048 . . . 4  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  -> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
116, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B ) ) )
12 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
13 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
153, 4, 14dipsubdi 22350 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P ( A ( -v `  U
) B ) )  =  ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
161, 15mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
176, 12, 13, 16syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
1817eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  -  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B ) )  =  0 ) )
19 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
203, 19, 14ipz 22218 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )  -> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
212, 20mpan 652 . . . . . 6  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  (
( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  0  <->  ( A ( -v `  U ) B )  =  ( 0vec `  U
) ) )
226, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
2318, 22bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
243, 14dipcl 22211 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P A )  e.  CC )
252, 24mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
266, 12, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
273, 14dipcl 22211 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B )  e.  CC )
282, 27mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
296, 28sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
3026, 29subeq0ad 9421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
313, 4, 19nvmeq0 22145 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
322, 31mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B )  =  (
0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
3323, 30, 323bitr3d 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B )  <-> 
A  =  B ) )
3411, 33sylibd 206 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  A  =  B ) )
35 oveq2 6089 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x P A )  =  ( x P B ) )
3635ralrimivw 2790 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B ) )
3734, 36impbid1 195 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    - cmin 9291   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   0veccn0v 22067   -vcnsb 22068   .i OLDcdip 22196   CPreHil OLDccphlo 22313
This theorem is referenced by:  phoeqi  22359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-t1 17378  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ph 22314
  Copyright terms: Public domain W3C validator