Theorem ip2eqi 8517

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	|- X = (Base` U)
ip2eqi.7	|- P = (.i` U)
ip2eqi.u	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	|- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,P   x,U   x,X

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 8475	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
4		eqid 1475	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
5	3, 4	nvmcl 8267	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
6	2, 5	mp3an1 903	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
7		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPA) = ((A(-v` U)B)PA))
8		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPB) = ((A(-v` U)B)PB))
9	7, 8	eqeq12d 1489	. . . . 5 |- (x = (A(-v` U)B) -> ((xPA) = (xPB) <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
10	9	rcla4v 1873	. . . 4 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
11	6, 10	syl 10	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
12		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
13	3, 4, 12	ipsubdi 8509	. . . . . . . 8 |- ((U e. CPreHil /\ ((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
14	1, 13	mpan 695	. . . . . . 7 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
15		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
16		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
17	14, 6, 15, 16	syl3anc 858	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
18	17	eqeq1d 1483	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0))
19		eqid 1475	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
20	3, 19, 12	ipz 8372	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
21	2, 20	mpan 695	. . . . . 6 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
22	6, 21	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
23	18, 22	bitr3d 530	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
24		subeq0t 5403	. . . . 5 |- ((((A(-v` U)B)PA) e. CC /\ ((A(-v` U)B)PB) e. CC) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
25	3, 12	ipcl 8365	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
26	2, 25	mp3an1 903	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
27	26, 6, 15	sylanc 471	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
28	3, 12	ipcl 8365	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
29	2, 28	mp3an1 903	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
30	6, 29	sylancom 475	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
31	24, 27, 30	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
32	3, 4, 19	nvmeq0 8284	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
33	2, 32	mp3an1 903	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
34	23, 31, 33	3bitr3d 548	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB) <-> A = B))
35	11, 34	sylibd 202	. 2 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> A = B))
36		opreq2 3969	. . . 4 |- (A = B -> (xPA) = (xPB))
37	36	a1d 12	. . 3 |- (A = B -> (x e. X -> (xPA) = (xPB)))
38	37	r19.21aiv 1713	. 2 |- (A = B -> A.x e. X (xPA) = (xPB))
39	35, 38	impbid1 517	1 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   - cmin 5292  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  -vcnsb 8208  .icip 8349  CPreHilcphl 8471

This theorem is referenced by:  phoeqi 8518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain