Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Unicode version

Theorem ip2subdi 16875
 Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f Scalar
phllmhm.h
phllmhm.v
ipsubdir.m
ipsubdir.s
ip2subdi.p
ip2subdi.1
ip2subdi.2
ip2subdi.3
ip2subdi.4
ip2subdi.5
Assertion
Ref Expression
ip2subdi

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4
2 ip2subdi.p . . . 4
3 ipsubdir.s . . . 4
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7
5 phllmod 16861 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
7 phlsrng.f . . . . . . 7 Scalar
87lmodrng 15958 . . . . . 6
96, 8syl 16 . . . . 5
10 rngabl 15693 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 ip2subdi.2 . . . . 5
13 ip2subdi.4 . . . . 5
14 phllmhm.h . . . . . 6
15 phllmhm.v . . . . . 6
167, 14, 15, 1ipcl 16864 . . . . 5
174, 12, 13, 16syl3anc 1184 . . . 4
18 ip2subdi.5 . . . . 5
197, 14, 15, 1ipcl 16864 . . . . 5
204, 12, 18, 19syl3anc 1184 . . . 4
21 ip2subdi.3 . . . . 5
227, 14, 15, 1ipcl 16864 . . . . 5
234, 21, 13, 22syl3anc 1184 . . . 4
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 15443 . . 3
2524oveq1d 6096 . 2
26 ipsubdir.m . . . . . 6
2715, 26lmodvsubcl 15989 . . . . 5
286, 13, 18, 27syl3anc 1184 . . . 4
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 16873 . . . 4
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1186 . . 3
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 16874 . . . . 5
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1186 . . . 4
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 16874 . . . . 5
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1186 . . . 4
3532, 34oveq12d 6099 . . 3
36 rnggrp 15669 . . . . . 6
379, 36syl 16 . . . . 5
381, 3grpsubcl 14869 . . . . 5
3937, 17, 20, 38syl3anc 1184 . . . 4
407, 14, 15, 1ipcl 16864 . . . . 5
414, 21, 18, 40syl3anc 1184 . . . 4
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 15442 . . 3
4330, 35, 423eqtrd 2472 . 2
441, 2rngacl 15691 . . . 4
459, 20, 23, 44syl3anc 1184 . . 3
461, 2, 3abladdsub 15439 . . 3
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1186 . 2
4825, 43, 473eqtr4d 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cip 13534  cgrp 14685  csg 14688  cabel 15413  crg 15660  clmod 15950  cphl 16855 This theorem is referenced by:  cph2subdi  19172  ipcau2  19191  tchcphlem1  19192 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-rnghom 15819  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-phl 16857
 Copyright terms: Public domain W3C validator