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Theorem ipasslem10 22293
Description: Lemma for ipassi 22295. Show the inner product associative law for the imaginary number  _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem10.a  |-  A  e.  X
ipasslem10.b  |-  B  e.  X
ipasslem10.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
ipasslem10  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 22270 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6  |-  B  e.  X
4 ax-icn 9005 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5 ipasslem10.a . . . . . . 7  |-  A  e.  X
6 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
86, 7nvscl 22060 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
_i S A )  e.  X )
92, 4, 5, 8mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( _i S A )  e.  X
10 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
12 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
136, 10, 7, 11, 124ipval2 22157 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
142, 3, 9, 13mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15 4re 10029 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
1615recni 9058 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
174negcli 9324 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
186, 12dipcl 22164 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
192, 3, 5, 18mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( B P A )  e.  CC
2016, 17, 19mul12i 9217 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
216, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S A ) )  e.  X )
222, 3, 9, 21mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( _i S A ) )  e.  X
236, 11, 2, 22nvcli 22102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  RR
2423recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  CC
2524sqcli 11417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
26 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
276, 7nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )
282, 26, 9, 27mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  e.  X
296, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
302, 3, 28, 29mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
316, 11, 2, 30nvcli 22102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3231recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
3332sqcli 11417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3425, 33subcli 9332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
356, 7nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )
362, 4, 9, 35mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i S ( _i S A ) )  e.  X
376, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S ( _i S A ) ) )  e.  X )
382, 3, 36, 37mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  e.  X
396, 11, 2, 38nvcli 22102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4039recni 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4140sqcli 11417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
426, 7nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )
432, 17, 9, 42mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X
446, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
466, 11, 2, 45nvcli 22102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4746recni 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4847sqcli 11417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4941, 48subcli 9332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
504, 49mulcli 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5134, 50addcomi 9213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
526, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G A )  e.  X )
532, 3, 5, 52mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G A )  e.  X
546, 11, 2, 53nvcli 22102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  RR
5554recni 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  CC
5655sqcli 11417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  e.  CC
576, 7nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
582, 26, 5, 57mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
596, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
602, 3, 58, 59mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X
616, 11, 2, 60nvcli 22102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR
6261recni 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC
6362sqcli 11417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
6456, 63subcli 9332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
656, 7nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u _i S A )  e.  X )
662, 17, 5, 65mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S A )  e.  X
676, 10nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S A ) )  e.  X
)
682, 3, 66, 67mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S A ) )  e.  X
696, 11, 2, 68nvcli 22102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  RR
7069recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  CC
7170sqcli 11417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
7225, 71subcli 9332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
734, 72mulcli 9051 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
7417, 64, 73adddii 9056 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u _i  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
754, 4, 53pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
766, 7nvsass 22062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S
( _i S A ) ) )
772, 75, 76mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S ( _i S A ) )
78 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7978oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S A )
8077, 79eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i S ( _i S A ) )  =  ( -u 1 S A )
8180oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  =  ( B G (
-u 1 S A ) )
8281fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )
8382oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 )
844, 4mulneg1i 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
8578negeqi 9255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
86 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
8786negnegi 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8884, 85, 873eqtri 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
8988oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( 1 S A )
9017, 4, 53pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
916, 7nvsass 22062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S ( _i S A ) ) )
922, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S
( _i S A ) )
936, 7nvsid 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
942, 5, 93mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 S A )  =  A
9589, 92, 943eqtr3i 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  =  A
9695oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  =  ( B G A )
9796fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G A ) )
9897oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )
9983, 98oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
10099oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
10164mulm1i 9434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  = 
-u ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
10256, 63negsubdi2i 9342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
103101, 102eqtr2i 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
104103oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1054, 26, 64mulassi 9055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u 1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
1074mulm1i 9434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  x.  _i )  =  -u _i
10826, 4, 107mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
109108oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
110100, 106, 1093eqtri 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
11126, 4, 53pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
1126, 7nvsass 22062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u
1 S ( _i S A ) ) )
1132, 111, 112mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S ( _i S A ) )
114107oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S A )
115113, 114eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  =  ( -u _i S A )
116115oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  =  ( B G ( -u _i S A ) )
117116fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) )
118117oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
119118oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
12072mulid2i 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
121119, 120eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12288oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
123121, 122eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12417, 4, 72mulassi 9055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
125123, 124eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
126110, 125oveq12i 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12774, 126eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
12851, 127eqtr4i 2427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1296, 10, 7, 11, 124ipval2 22157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1302, 3, 5, 129mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
131130oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
132128, 131eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
13320, 132eqtr4i 2427 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
13414, 133eqtr4i 2427 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1356, 12dipcl 22164 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B P ( _i S A ) )  e.  CC )
1362, 3, 9, 135mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( B P ( _i S A ) )  e.  CC
13717, 19mulcli 9051 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  ( B P A ) )  e.  CC
138 4pos 10042 . . . . . 6  |-  0  <  4
13915, 138gt0ne0ii 9519 . . . . 5  |-  4  =/=  0
140136, 137, 16, 139mulcani 9617 . . . 4  |-  ( ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  <->  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
141134, 140mpbi 200 . . 3  |-  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) )
142141fveq2i 5690 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( * `  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1436, 12dipcj 22166 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( * `  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B ) )
1442, 3, 9, 143mp3an 1279 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B )
14517, 19cjmuli 11949 . . 3  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( * `  -u _i )  x.  (
* `  ( B P A ) ) )
14626, 4cjmuli 11949 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  x.  (
* `  _i )
)
147107fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( * `  -u _i )
148 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
149148renegcli 9318 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
15026cjrebi 11934 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  <->  ( * `  -u 1 )  = 
-u 1 )
151149, 150mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
152 cji 11919 . . . . . . 7  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
153151, 152oveq12i 6052 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  ( -u 1  x.  -u _i )
15486, 4mul2negi 9437 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u _i )  =  ( 1  x.  _i )
1554mulid2i 9049 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
156153, 154, 1553eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  _i
157146, 147, 1563eqtr3i 2432 . . . 4  |-  ( * `
 -u _i )  =  _i
1586, 12dipcj 22166 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1592, 3, 5, 158mp3an 1279 . . . 4  |-  ( * `
 ( B P A ) )  =  ( A P B )
160157, 159oveq12i 6052 . . 3  |-  ( ( * `  -u _i )  x.  ( * `  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
161145, 160eqtri 2424 . 2  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
162142, 144, 1613eqtr3i 2432 1  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   2c2 10005   4c4 10007   ^cexp 11337   *ccj 11856   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   normCVcnmcv 22022   .i OLDcdip 22149   CPreHil OLDccphlo 22266
This theorem is referenced by:  ipasslem11  22294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-dip 22150  df-ph 22267
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