MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem10 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem10 22345
Description: Lemma for ipassi 22347. Show the inner product associative law for the imaginary number  _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem10.a  |-  A  e.  X
ipasslem10.b  |-  B  e.  X
ipasslem10.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
ipasslem10  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 22322 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6  |-  B  e.  X
4 ax-icn 9054 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5 ipasslem10.a . . . . . . 7  |-  A  e.  X
6 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
86, 7nvscl 22112 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
_i S A )  e.  X )
92, 4, 5, 8mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( _i S A )  e.  X
10 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
12 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
136, 10, 7, 11, 124ipval2 22209 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
142, 3, 9, 13mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15 4re 10078 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
1615recni 9107 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
174negcli 9373 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
186, 12dipcl 22216 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
192, 3, 5, 18mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( B P A )  e.  CC
2016, 17, 19mul12i 9266 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
216, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S A ) )  e.  X )
222, 3, 9, 21mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( _i S A ) )  e.  X
236, 11, 2, 22nvcli 22154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  RR
2423recni 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) )  e.  CC
2524sqcli 11467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
26 neg1cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
276, 7nvscl 22112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )
282, 26, 9, 27mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  e.  X
296, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
302, 3, 28, 29mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  e.  X
316, 11, 2, 30nvcli 22154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
3231recni 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
3332sqcli 11467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3425, 33subcli 9381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
356, 7nvscl 22112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )
362, 4, 9, 35mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i S ( _i S A ) )  e.  X
376, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G ( _i S ( _i S A ) ) )  e.  X )
382, 3, 36, 37mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  e.  X
396, 11, 2, 38nvcli 22154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4039recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4140sqcli 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
426, 7nvscl 22112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  ( _i S A )  e.  X )  ->  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )
432, 17, 9, 42mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X
446, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S ( _i S A ) )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  e.  X
466, 11, 2, 45nvcli 22154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  RR
4746recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  e.  CC
4847sqcli 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4941, 48subcli 9381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
504, 49mulcli 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5134, 50addcomi 9262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
526, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G A )  e.  X )
532, 3, 5, 52mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G A )  e.  X
546, 11, 2, 53nvcli 22154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  RR
5554recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G A ) )  e.  CC
5655sqcli 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  e.  CC
576, 7nvscl 22112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
582, 26, 5, 57mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
596, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
602, 3, 58, 59mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X
616, 11, 2, 60nvcli 22154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR
6261recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC
6362sqcli 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
6456, 63subcli 9381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
656, 7nvscl 22112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u _i S A )  e.  X )
662, 17, 5, 65mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S A )  e.  X
676, 10nvgcl 22104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u _i S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u _i S A ) )  e.  X
)
682, 3, 66, 67mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S A ) )  e.  X
696, 11, 2, 68nvcli 22154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  RR
7069recni 9107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) )  e.  CC
7170sqcli 11467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
7225, 71subcli 9381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
734, 72mulcli 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
7417, 64, 73adddii 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u _i  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
754, 4, 53pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
766, 7nvsass 22114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S
( _i S A ) ) )
772, 75, 76mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( _i S ( _i S A ) )
78 ixi 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7978oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S A )
8077, 79eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i S ( _i S A ) )  =  ( -u 1 S A )
8180oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) )  =  ( B G (
-u 1 S A ) )
8281fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )
8382oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 )
844, 4mulneg1i 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
8578negeqi 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
86 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
8786negnegi 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8884, 85, 873eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
8988oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( 1 S A )
9017, 4, 53pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
916, 7nvsass 22114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S ( _i S A ) ) )
922, 90, 91mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u _i  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S
( _i S A ) )
936, 7nvsid 22113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
942, 5, 93mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 S A )  =  A
9589, 92, 943eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i S ( _i S A ) )  =  A
9695oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) )  =  ( B G A )
9796fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 ( B G ( -u _i S
( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G A ) )
9897oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )
9983, 98oveq12i 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
10099oveq2i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
10164mulm1i 9483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  = 
-u ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
10256, 63negsubdi2i 9391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )
103101, 102eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
104103oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u
1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1054, 26, 64mulassi 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( -u 1  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
1074mulm1i 9483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  x.  _i )  =  -u _i
10826, 4, 107mulcomli 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
109108oveq1i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  -u 1
)  x.  ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
110100, 106, 1093eqtri 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
11126, 4, 53pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
1126, 7nvsass 22114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u
1 S ( _i S A ) ) )
1132, 111, 112mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u 1 S ( _i S A ) )
114107oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  x.  _i ) S A )  =  ( -u _i S A )
115113, 114eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 S ( _i S A ) )  =  ( -u _i S A )
116115oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) )  =  ( B G ( -u _i S A ) )
117116fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) )
118117oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
119118oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
12072mulid2i 9098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
121119, 120eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12288oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
123121, 122eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  (
( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
12417, 4, 72mulassi 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
125123, 124eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
126110, 125oveq12i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( (
-u _i  x.  (
( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S A ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12774, 126eqtr4i 2461 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
12851, 127eqtr4i 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1296, 10, 7, 11, 124ipval2 22209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1302, 3, 5, 129mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  ( B P A ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
131130oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( ( ( N `  ( B G A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
132128, 131eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( 4  x.  ( B P A ) ) )
13320, 132eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u
1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( B G ( _i S
( _i S A ) ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
13414, 133eqtr4i 2461 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1356, 12dipcl 22216 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( B P ( _i S A ) )  e.  CC )
1362, 3, 9, 135mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( B P ( _i S A ) )  e.  CC
13717, 19mulcli 9100 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  ( B P A ) )  e.  CC
138 4pos 10091 . . . . . 6  |-  0  <  4
13915, 138gt0ne0ii 9568 . . . . 5  |-  4  =/=  0
140136, 137, 16, 139mulcani 9666 . . . 4  |-  ( ( 4  x.  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( 4  x.  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  <->  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
141134, 140mpbi 201 . . 3  |-  ( B P ( _i S A ) )  =  ( -u _i  x.  ( B P A ) )
142141fveq2i 5734 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( * `  ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )
1436, 12dipcj 22218 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  (
_i S A )  e.  X )  -> 
( * `  ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B ) )
1442, 3, 9, 143mp3an 1280 . 2  |-  ( * `
 ( B P ( _i S A ) ) )  =  ( ( _i S A ) P B )
14517, 19cjmuli 11999 . . 3  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( ( * `  -u _i )  x.  (
* `  ( B P A ) ) )
14626, 4cjmuli 11999 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  x.  (
* `  _i )
)
147107fveq2i 5734 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  x.  _i ) )  =  ( * `  -u _i )
148 1re 9095 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
149148renegcli 9367 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
15026cjrebi 11984 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  <->  ( * `  -u 1 )  = 
-u 1 )
151149, 150mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
152 cji 11969 . . . . . . 7  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
153151, 152oveq12i 6096 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  ( -u 1  x.  -u _i )
15486, 4mul2negi 9486 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u _i )  =  ( 1  x.  _i )
1554mulid2i 9098 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
156153, 154, 1553eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( ( * `  -u 1
)  x.  ( * `
 _i ) )  =  _i
157146, 147, 1563eqtr3i 2466 . . . 4  |-  ( * `
 -u _i )  =  _i
1586, 12dipcj 22218 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1592, 3, 5, 158mp3an 1280 . . . 4  |-  ( * `
 ( B P A ) )  =  ( A P B )
160157, 159oveq12i 6096 . . 3  |-  ( ( * `  -u _i )  x.  ( * `  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
161145, 160eqtri 2458 . 2  |-  ( * `
 ( -u _i  x.  ( B P A ) ) )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
162142, 144, 1613eqtr3i 2466 1  |-  ( ( _i S A ) P B )  =  ( _i  x.  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296   -ucneg 9297   2c2 10054   4c4 10056   ^cexp 11387   *ccj 11906   NrmCVeccnv 22068   +vcpv 22069   BaseSetcba 22070   .s
OLDcns 22071   normCVcnmcv 22074   .i OLDcdip 22201   CPreHil OLDccphlo 22318
This theorem is referenced by:  ipasslem11  22346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-dip 22202  df-ph 22319
  Copyright terms: Public domain W3C validator