Theorem ipasslem5 8490

Description: Lemma for ipassi 8497. Show the inner product associative law for rational numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem1.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	|- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 6258	. . 3 |- (C e. QQ <-> E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k))
2		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (C = (j / k) -> (CSA) = ((j / k)SA))
3	2	opreq1d 3981	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (((j / k)SA)PB))
4		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> (C x. (APB)) = ((j / k) x. (APB)))
5	3, 4	eqeq12d 1492	. . . . . . 7 |- (C = (j / k) -> (((CSA)PB) = (C x. (APB)) <-> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB))))
6		axmulass 5290	. . . . . . . . 9 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
7		zcnt 6142	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> j e. CC)
8		nnrecret 5954	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
9	8	recnd 5327	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
10		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil
11	10	phnvi 8471	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
12		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 |- B e. X
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = (Base` U)
14		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 |- P = (.i` U)
15	13, 14	ipcl 8361	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
16	11, 12, 15	mp3an13 909	. . . . . . . . 9 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
17	6, 7, 9, 16	syl3an 870	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
18		divrect 5746	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. CC /\ k e. CC /\ k =/= 0) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
19	7	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> j e. CC)
20		nncnt 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k e. CC)
21	20	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k e. CC)
22		nnne0t 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k =/= 0)
23	22	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k =/= 0)
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 860	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
25	24	3adant3 801	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
26	25	opreq1d 3981	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k) x. (APB)) = ((j x. (1 / k)) x. (APB)))
27	25	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = ((j x. (1 / k))SA))
28		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = (.s` U)
29	13, 28	nvsass 8245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X)) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
30	11, 29	mpan 697	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
31		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. X -> A e. X)
32	30, 7, 9, 31	syl3an 870	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
33	27, 32	eqtrd 1510	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = (jS((1 / k)SA)))
34	33	opreq1d 3981	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((jS((1 / k)SA))PB))
35		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (+v` U)
36	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem3 8488	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ ((1 / k)SA) e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
37	13, 28	nvscl 8243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
38	11, 37	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
39	38, 9	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
40	36, 39	sylan2 453	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ (k e. NN /\ A e. X)) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
41	40	3impb 831	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
42	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem4 8489	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
43	42	3adant1 799	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
44	43	opreq2d 3982	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j x. (((1 / k)SA)PB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
45	34, 41, 44	3eqtrd 1514	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
46	17, 26, 45	3eqtr4rd 1521	. . . . . . 7 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB)))
47	5, 46	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
48	47	3expia 837	. . . . 5 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (A e. X -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
50	49	r19.23aivv 1751	. . 3 |- (E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
51	1, 50	sylbi 199	. 2 |- (C e. QQ -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
52	51	imp 350	1 |- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310  QQcq 5311  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  .icip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  ipasslem8 8493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-sum 6980  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ip 8346  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain