MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Unicode version

Theorem ipasslem7 21414
Description: Lemma for ipassi 21419. Show that  ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) is continuous on  RR. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
ipasslem7.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
ipasslem7.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipasslem7  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    w, B    w, K    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)    J( w)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
2 ipasslem7.j . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 ipasslem7.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43tgioo2 18309 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
52, 4eqtri 2303 . . . 4  |-  J  =  ( Kt  RR )
63cnfldtopon 18292 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8 ax-resscn 8794 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
98a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
107cnmptid 17355 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  ( K  Cn  K ) )
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1211phnvi 21394 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
1513, 14imsxmet 21261 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( * Met `  X ) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)
17 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
1817mopntopon 17985 . . . . . . . . 9  |-  ( (
IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  e.  (TopOn `  X ) )
1916, 18mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) )  e.  (TopOn `  X )
)
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9  |-  A  e.  X
2120a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  A  e.  X
)
227, 19, 21cnmptc 17356 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  A )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
2414, 17, 23, 3smcn 21271 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
2512, 24mp1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  S  e.  (
( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
267, 10, 22, 25cnmpt12f 17360 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w S A ) )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
2827a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  B  e.  X
)
297, 19, 28cnmptc 17356 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  B )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
30 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
3130, 14, 17, 3dipcn 21296 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
3212, 31mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  P  e.  (
( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
337, 26, 29, 32cnmpt12f 17360 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( w S A ) P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3413, 30dipcl 21288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
3512, 20, 27, 34mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( A P B )  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( A P B )  e.  CC )
377, 7, 36cnmptc 17356 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( A P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
383mulcn 18371 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
3938a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
407, 10, 37, 39cnmpt12f 17360 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
413subcn 18370 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4241a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
437, 33, 40, 42cnmpt12f 17360 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
445, 7, 9, 43cnmpt1res 17370 . . 3  |-  (  T. 
->  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4544trud 1314 . 2  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K )
461, 45eqeltri 2353 1  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    x. cmul 8742    - cmin 9037   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   IndMetcims 21147   .i
OLDcdip 21273   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  ipasslem8  21415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ph 21391
  Copyright terms: Public domain W3C validator