MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem7 22342
Description: Lemma for ipassi 22347. Show that  ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) is continuous on  RR. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
ipasslem7.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
ipasslem7.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipasslem7  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    w, B    w, K    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)    J( w)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
2 ipasslem7.j . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 ipasslem7.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43tgioo2 18839 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
52, 4eqtri 2458 . . . 4  |-  J  =  ( Kt  RR )
63cnfldtopon 18822 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8 ax-resscn 9052 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
98a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
107cnmptid 17698 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  ( K  Cn  K ) )
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1211phnvi 22322 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
1513, 14imsxmet 22189 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( * Met `  X ) )
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)
17 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
1817mopntopon 18474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  e.  (TopOn `  X ) )
1916, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) )  e.  (TopOn `  X )
)
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9  |-  A  e.  X
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  A  e.  X
)
227, 19, 21cnmptc 17699 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  A )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
2414, 17, 23, 3smcn 22199 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
2512, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  S  e.  (
( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
267, 10, 22, 25cnmpt12f 17703 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w S A ) )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  B  e.  X
)
297, 19, 28cnmptc 17699 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  B )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
30 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
3130, 14, 17, 3dipcn 22224 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
3212, 31mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  P  e.  (
( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
337, 26, 29, 32cnmpt12f 17703 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( w S A ) P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3413, 30dipcl 22216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
3512, 20, 27, 34mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( A P B )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( A P B )  e.  CC )
377, 7, 36cnmptc 17699 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( A P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
383mulcn 18902 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
407, 10, 37, 39cnmpt12f 17703 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
413subcn 18901 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4241a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
437, 33, 40, 42cnmpt12f 17703 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
445, 7, 9, 43cnmpt1res 17713 . . 3  |-  (  T. 
->  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4544trud 1333 . 2  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K )
461, 45eqeltri 2508 1  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322    e. cmpt 4269   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994    x. cmul 9000    - cmin 9296   (,)cioo 10921   ↾t crest 13653   TopOpenctopn 13654   topGenctg 13670   * Metcxmt 16691   MetOpencmopn 16696  ℂfldccnfld 16708  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293    tX ctx 17597   NrmCVeccnv 22068   +vcpv 22069   BaseSetcba 22070   .s
OLDcns 22071   IndMetcims 22075   .i
OLDcdip 22201   CPreHil OLDccphlo 22318
This theorem is referenced by:  ipasslem8  22343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-dip 22202  df-ph 22319
  Copyright terms: Public domain W3C validator