MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Unicode version

Theorem ipasslem7 22290
Description: Lemma for ipassi 22295. Show that  ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) is continuous on  RR. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
ipasslem7.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
ipasslem7.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipasslem7  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    w, B    w, K    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)    J( w)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
2 ipasslem7.j . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 ipasslem7.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43tgioo2 18787 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
52, 4eqtri 2424 . . . 4  |-  J  =  ( Kt  RR )
63cnfldtopon 18770 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8 ax-resscn 9003 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
98a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
107cnmptid 17646 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  ( K  Cn  K ) )
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1211phnvi 22270 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
1513, 14imsxmet 22137 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( * Met `  X ) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)
17 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
1817mopntopon 18422 . . . . . . . . 9  |-  ( (
IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  e.  (TopOn `  X ) )
1916, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) )  e.  (TopOn `  X )
)
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9  |-  A  e.  X
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  A  e.  X
)
227, 19, 21cnmptc 17647 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  A )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
2414, 17, 23, 3smcn 22147 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
2512, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  S  e.  (
( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
267, 10, 22, 25cnmpt12f 17651 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w S A ) )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  B  e.  X
)
297, 19, 28cnmptc 17647 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  B )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
30 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
3130, 14, 17, 3dipcn 22172 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
3212, 31mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  P  e.  (
( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
337, 26, 29, 32cnmpt12f 17651 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( w S A ) P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3413, 30dipcl 22164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
3512, 20, 27, 34mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( A P B )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( A P B )  e.  CC )
377, 7, 36cnmptc 17647 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( A P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
383mulcn 18850 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
407, 10, 37, 39cnmpt12f 17651 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
413subcn 18849 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4241a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
437, 33, 40, 42cnmpt12f 17651 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
445, 7, 9, 43cnmpt1res 17661 . . 3  |-  (  T. 
->  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4544trud 1329 . 2  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K )
461, 45eqeltri 2474 1  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945    x. cmul 8951    - cmin 9247   (,)cioo 10872   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   IndMetcims 22023   .i
OLDcdip 22149   CPreHil OLDccphlo 22266
This theorem is referenced by:  ipasslem8  22291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ph 22267
  Copyright terms: Public domain W3C validator