MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Unicode version

Theorem ipasslem7 21528
Description: Lemma for ipassi 21533. Show that  ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) is continuous on  RR. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
ipasslem7.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
ipasslem7.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipasslem7  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    w, B    w, K    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)    J( w)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
2 ipasslem7.j . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 ipasslem7.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43tgioo2 18411 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
52, 4eqtri 2378 . . . 4  |-  J  =  ( Kt  RR )
63cnfldtopon 18394 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8 ax-resscn 8884 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
98a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
107cnmptid 17461 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  ( K  Cn  K ) )
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1211phnvi 21508 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
14 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
1513, 14imsxmet 21375 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( * Met `  X ) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)
17 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
1817mopntopon 18087 . . . . . . . . 9  |-  ( (
IndMet `  U )  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  e.  (TopOn `  X ) )
1916, 18mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) )  e.  (TopOn `  X )
)
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9  |-  A  e.  X
2120a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  A  e.  X
)
227, 19, 21cnmptc 17462 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  A )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
2414, 17, 23, 3smcn 21385 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
2512, 24mp1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  S  e.  (
( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
267, 10, 22, 25cnmpt12f 17466 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w S A ) )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
2827a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  B  e.  X
)
297, 19, 28cnmptc 17462 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  B )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
30 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
3130, 14, 17, 3dipcn 21410 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
3212, 31mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  P  e.  (
( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
337, 26, 29, 32cnmpt12f 17466 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( w S A ) P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3413, 30dipcl 21402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
3512, 20, 27, 34mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( A P B )  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( A P B )  e.  CC )
377, 7, 36cnmptc 17462 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( A P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
383mulcn 18474 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
3938a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
407, 10, 37, 39cnmpt12f 17466 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
413subcn 18473 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4241a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
437, 33, 40, 42cnmpt12f 17466 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
445, 7, 9, 43cnmpt1res 17476 . . 3  |-  (  T. 
->  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4544trud 1323 . 2  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K )
461, 45eqeltri 2428 1  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228    e. cmpt 4158   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826    x. cmul 8832    - cmin 9127   (,)cioo 10748   ↾t crest 13424   TopOpenctopn 13425   topGenctg 13441   * Metcxmt 16468   MetOpencmopn 16473  ℂfldccnfld 16482  TopOnctopon 16738    Cn ccn 17060    tX ctx 17361   NrmCVeccnv 21254   +vcpv 21255   BaseSetcba 21256   .s
OLDcns 21257   IndMetcims 21261   .i
OLDcdip 21387   CPreHil OLDccphlo 21504
This theorem is referenced by:  ipasslem8  21529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271  df-dip 21388  df-ph 21505
  Copyright terms: Public domain W3C validator