MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Unicode version

Theorem ipasslem8 21415
Description: Lemma for ipassi 21419. By ipasslem5 21413, 
F is 0 for all  QQ; since it is continuous and 
QQ is dense in  RR by qdensere2 18303, we conclude  F is 0 for all  RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ipasslem8  |-  F : RR
--> { 0 }
Distinct variable groups:    w, B    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . 2  |-  0  e.  CC
2 qre 10321 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
3 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w S A )  =  ( x S A ) )
43oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( x S A ) P B ) )
5 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
64, 5oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
7 ipasslem7.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
102, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
11 ipasslem7.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
12 ip1i.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 ip1i.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( +v `  U
)
14 ip1i.4 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
15 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
16 ip1i.9 . . . . . . . 8  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
1812, 13, 14, 15, 16, 17ipasslem5 21413 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
19 qcn 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
2016phnvi 21394 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  NrmCVec
2112, 14nvscl 21184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
x S A )  e.  X )
2220, 21mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
2319, 22sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
2412, 15dipcl 21288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2520, 17, 24mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x S A )  e.  X  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2623, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  e.  CC )
2712, 15dipcl 21288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
2820, 17, 27mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A P B )  e.  CC )
29 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( A P B )  e.  CC )  -> 
( x  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
3019, 28, 29syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
31 subeq0 9073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x S A ) P B )  e.  CC  /\  ( x  x.  ( A P B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  (
( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
3226, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  (
( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
3318, 32mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( x S A ) P B )  -  (
x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
3411, 33mpan2 652 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
3510, 34eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  0 )
3635rgen 2608 . . 3  |-  A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0
37 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
3837, 7fnmpti 5372 . . . . 5  |-  F  Fn  RR
39 fnfun 5341 . . . . 5  |-  ( F  Fn  RR  ->  Fun  F )
4038, 39ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  F
41 qssre 10326 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
4237, 7dmmpti 5373 . . . . 5  |-  dom  F  =  RR
4341, 42sseqtr4i 3211 . . . 4  |-  QQ  C_  dom  F
44 funconstss 5643 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  QQ  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <-> 
QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) ) )
4540, 43, 44mp2an 653 . . 3  |-  ( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <->  QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) )
4636, 45mpbi 199 . 2  |-  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )
47 qdensere 18279 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
48 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4948cnfldhaus 18294 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
50 haust1 17080 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Haus  ->  (
TopOpen ` fld )  e.  Fre )
5149, 50ax-mp 8 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Fre
52 eqid 2283 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
5312, 13, 14, 15, 16, 11, 17, 7, 52, 48ipasslem7 21414 . . 3  |-  F  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
54 uniretop 18271 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
5548cnfldtopon 18292 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
5655toponunii 16670 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5754, 56dnsconst 17106 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Fre  /\  F  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )  /\  ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR ) )  ->  F : RR --> { 0 } )
5851, 53, 57mpanl12 663 . 2  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )  ->  F : RR --> { 0 } )
591, 46, 47, 58mp3an 1277 1  |-  F : RR
--> { 0 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    - cmin 9037   QQcq 10316   (,)cioo 10656   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   clsccl 16755    Cn ccn 16954   Frect1 17035   Hauscha 17036   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s OLDcns 21143   .i OLDcdip 21273   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  ipasslem9  21416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ph 21391
  Copyright terms: Public domain W3C validator