MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Unicode version

Theorem ipasslem8 22188
Description: Lemma for ipassi 22192. By ipasslem5 22186, 
F is 0 for all  QQ; since it is continuous and 
QQ is dense in  RR by qdensere2 18701, we conclude  F is 0 for all  RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ipasslem8  |-  F : RR
--> { 0 }
Distinct variable groups:    w, B    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9019 . 2  |-  0  e.  CC
2 qre 10513 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
3 oveq1 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w S A )  =  ( x S A ) )
43oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( x S A ) P B ) )
5 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
64, 5oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
7 ipasslem7.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ovex 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5747 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
102, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
11 ipasslem7.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
12 qcn 10522 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1413phnvi 22167 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
1715, 16nvscl 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
x S A )  e.  X )
1814, 17mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
1912, 18sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
2215, 21dipcl 22061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2314, 20, 22mp3an13 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( x S A )  e.  X  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2419, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  e.  CC )
25 ip1i.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( +v `  U
)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 22186 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
2724, 26subeq0bd 9397 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( x S A ) P B )  -  (
x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2811, 27mpan2 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2910, 28eqtrd 2421 . . . 4  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  0 )
3029rgen 2716 . . 3  |-  A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0
317funmpt2 5432 . . . 4  |-  Fun  F
32 qssre 10518 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
33 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
3433, 7dmmpti 5516 . . . . 5  |-  dom  F  =  RR
3532, 34sseqtr4i 3326 . . . 4  |-  QQ  C_  dom  F
36 funconstss 5789 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  QQ  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <-> 
QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) ) )
3731, 35, 36mp2an 654 . . 3  |-  ( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <->  QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) )
3830, 37mpbi 200 . 2  |-  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )
39 qdensere 18677 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
40 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4140cnfldhaus 18692 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
42 haust1 17340 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Haus  ->  (
TopOpen ` fld )  e.  Fre )
4341, 42ax-mp 8 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Fre
44 eqid 2389 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 22187 . . 3  |-  F  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
46 uniretop 18669 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4740cnfldtopon 18690 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 16922 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4946, 48dnsconst 17366 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Fre  /\  F  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )  /\  ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR ) )  ->  F : RR --> { 0 } )
5043, 45, 49mpanl12 664 . 2  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )  ->  F : RR --> { 0 } )
511, 38, 39, 50mp3an 1279 1  |-  F : RR
--> { 0 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651    C_ wss 3265   {csn 3759    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   Fun wfun 5390   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925    x. cmul 8930    - cmin 9225   QQcq 10508   (,)cioo 10850   TopOpenctopn 13578   topGenctg 13594  ℂfldccnfld 16628   clsccl 17007    Cn ccn 17212   Frect1 17295   Hauscha 17296   NrmCVeccnv 21913   +vcpv 21914   BaseSetcba 21915   .s OLDcns 21916   .i OLDcdip 22046   CPreHil OLDccphlo 22163
This theorem is referenced by:  ipasslem9  22189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-t1 17302  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-dip 22047  df-ph 22164
  Copyright terms: Public domain W3C validator