MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem8 22328
Description: Lemma for ipassi 22332. By ipasslem5 22326, 
F is 0 for all  QQ; since it is continuous and 
QQ is dense in  RR by qdensere2 18818, we conclude  F is 0 for all  RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ipasslem8  |-  F : RR
--> { 0 }
Distinct variable groups:    w, B    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9074 . 2  |-  0  e.  CC
2 qre 10569 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
3 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w S A )  =  ( x S A ) )
43oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( x S A ) P B ) )
5 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
64, 5oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
7 ipasslem7.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5798 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
102, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
11 ipasslem7.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
12 qcn 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1413phnvi 22307 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
1715, 16nvscl 22097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
x S A )  e.  X )
1814, 17mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
1912, 18sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
2215, 21dipcl 22201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2314, 20, 22mp3an13 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( x S A )  e.  X  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2419, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  e.  CC )
25 ip1i.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( +v `  U
)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 22326 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
2724, 26subeq0bd 9453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( x S A ) P B )  -  (
x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2811, 27mpan2 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2910, 28eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  0 )
3029rgen 2763 . . 3  |-  A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0
317funmpt2 5482 . . . 4  |-  Fun  F
32 qssre 10574 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
33 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
3433, 7dmmpti 5566 . . . . 5  |-  dom  F  =  RR
3532, 34sseqtr4i 3373 . . . 4  |-  QQ  C_  dom  F
36 funconstss 5840 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  QQ  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <-> 
QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) ) )
3731, 35, 36mp2an 654 . . 3  |-  ( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <->  QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) )
3830, 37mpbi 200 . 2  |-  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )
39 qdensere 18794 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
40 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4140cnfldhaus 18809 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
42 haust1 17406 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Haus  ->  (
TopOpen ` fld )  e.  Fre )
4341, 42ax-mp 8 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Fre
44 eqid 2435 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 22327 . . 3  |-  F  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
46 uniretop 18786 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4740cnfldtopon 18807 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 16987 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4946, 48dnsconst 17432 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Fre  /\  F  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )  /\  ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR ) )  ->  F : RR --> { 0 } )
5043, 45, 49mpanl12 664 . 2  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )  ->  F : RR --> { 0 } )
511, 38, 39, 50mp3an 1279 1  |-  F : RR
--> { 0 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980    x. cmul 8985    - cmin 9281   QQcq 10564   (,)cioo 10906   TopOpenctopn 13639   topGenctg 13655  ℂfldccnfld 16693   clsccl 17072    Cn ccn 17278   Frect1 17361   Hauscha 17362   NrmCVeccnv 22053   +vcpv 22054   BaseSetcba 22055   .s OLDcns 22056   .i OLDcdip 22186   CPreHil OLDccphlo 22303
This theorem is referenced by:  ipasslem9  22329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-t1 17368  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-grpo 21769  df-gid 21770  df-ginv 21771  df-gdiv 21772  df-ablo 21860  df-vc 22015  df-nv 22061  df-va 22064  df-ba 22065  df-sm 22066  df-0v 22067  df-vs 22068  df-nmcv 22069  df-ims 22070  df-dip 22187  df-ph 22304
  Copyright terms: Public domain W3C validator