MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem9 Unicode version

Theorem ipasslem9 22188
Description: Lemma for ipassi 22191. Conclude from ipasslem8 22187 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem9.a  |-  A  e.  X
ipasslem9.b  |-  B  e.  X
Assertion
Ref Expression
ipasslem9  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )

Proof of Theorem ipasslem9
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6028 . . . . . 6  |-  ( w  =  C  ->  (
w S A )  =  ( C S A ) )
21oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( C S A ) P B ) )
3 oveq1 6028 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
42, 3oveq12d 6039 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
5 eqid 2388 . . . 4  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )
6 ovex 6046 . . . 4  |-  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5746 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ip1i.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 ip1i.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
10 ip1i.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
11 ip1i.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
12 ip1i.9 . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
13 ipasslem9.a . . . . 5  |-  A  e.  X
14 ipasslem9.b . . . . 5  |-  B  e.  X
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5ipasslem8 22187 . . . 4  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) ) : RR --> { 0 }
16 fvconst 5861 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) : RR --> { 0 }  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  0 )
1715, 16mpan 652 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  0 )
187, 17eqtr3d 2422 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
19 recn 9014 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
2012phnvi 22166 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
218, 10nvscl 21956 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( C S A )  e.  X )
2220, 13, 21mp3an13 1270 . . . . 5  |-  ( C  e.  CC  ->  ( C S A )  e.  X )
238, 11dipcl 22060 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
2420, 14, 23mp3an13 1270 . . . . 5  |-  ( ( C S A )  e.  X  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
2522, 24syl 16 . . . 4  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
268, 11dipcl 22060 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
2720, 13, 14, 26mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( A P B )  e.  CC
28 mulcl 9008 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( A P B )  e.  CC )  -> 
( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
2927, 28mpan2 653 . . . 4  |-  ( C  e.  CC  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
3025, 29subeq0ad 9354 . . 3  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  ( ( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
3119, 30syl 16 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  ( ( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
3218, 31mpbid 202 1  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3758    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    x. cmul 8929    - cmin 9224   NrmCVeccnv 21912   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915   .i OLDcdip 22045   CPreHil OLDccphlo 22162
This theorem is referenced by:  ipasslem11  22190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-t1 17301  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-ph 22163
  Copyright terms: Public domain W3C validator