MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Structured version   Unicode version

Theorem ipassr2 16909
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 16908. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipdir.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
ipass.p  |-  .X.  =  ( .r `  F )
ipassr.i  |-  .*  =  ( * r `  F )
Assertion
Ref Expression
ipassr2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  W  e.  PreHil )
2 simpr1 964 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  A  e.  V )
3 simpr2 965 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  B  e.  V )
4 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
54phlsrng 16893 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  F  e.  *Ring
)
7 simpr3 966 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  C  e.  K )
8 ipassr.i . . . . 5  |-  .*  =  ( * r `  F )
9 ipdir.f . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
108, 9srngcl 15974 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  C )  e.  K )
116, 7, 10syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  C )  e.  K
)
12 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
13 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 ipass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 ipass.p . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  F )
164, 12, 13, 9, 14, 15, 8ipassr 16908 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  (  .*  `  C )  e.  K ) )  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
171, 2, 3, 11, 16syl13anc 1187 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
188, 9srngnvl 15975 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  C ) )  =  C )
196, 7, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  (  .*  `  C
) )  =  C )
2019oveq2d 6126 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  (  .*  `  (  .* 
`  C ) ) )  =  ( ( A  .,  B ) 
.X.  C ) )
2117, 20eqtr2d 2475 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   .rcmulr 13561   * rcstv 13562  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   .icip 13565   *Ringcsr 15963   PreHilcphl 16886
This theorem is referenced by:  ipcau2  19222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-ghm 15035  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-rnghom 15850  df-staf 15964  df-srng 15965  df-lmod 15983  df-lmhm 16129  df-lvec 16206  df-sra 16275  df-rgmod 16276  df-phl 16888
  Copyright terms: Public domain W3C validator