MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Unicode version

Theorem ipassr2 16657
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 16656. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipdir.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
ipass.p  |-  .X.  =  ( .r `  F )
ipassr.i  |-  .*  =  ( * r `  F )
Assertion
Ref Expression
ipassr2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  W  e.  PreHil )
2 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  A  e.  V )
3 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  B  e.  V )
4 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
54phlsrng 16641 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  F  e.  *Ring
)
7 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  C  e.  K )
8 ipassr.i . . . . 5  |-  .*  =  ( * r `  F )
9 ipdir.f . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
108, 9srngcl 15719 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  C )  e.  K )
116, 7, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  C )  e.  K
)
12 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
13 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 ipass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 ipass.p . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  F )
164, 12, 13, 9, 14, 15, 8ipassr 16656 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  (  .*  `  C )  e.  K ) )  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
171, 2, 3, 11, 16syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
188, 9srngnvl 15720 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  C ) )  =  C )
196, 7, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  (  .*  `  C
) )  =  C )
2019oveq2d 5961 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  (  .*  `  (  .* 
`  C ) ) )  =  ( ( A  .,  B ) 
.X.  C ) )
2117, 20eqtr2d 2391 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   .rcmulr 13306   * rcstv 13307  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   .icip 13310   *Ringcsr 15708   PreHilcphl 16634
This theorem is referenced by:  ipcau2  18768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-ghm 14780  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-rnghom 15595  df-staf 15709  df-srng 15710  df-lmod 15728  df-lmhm 15878  df-lvec 15955  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-phl 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator