MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Unicode version

Theorem ipassr2 16833
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 16832. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipdir.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
ipass.p  |-  .X.  =  ( .r `  F )
ipassr.i  |-  .*  =  ( * r `  F )
Assertion
Ref Expression
ipassr2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  W  e.  PreHil )
2 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  A  e.  V )
3 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  B  e.  V )
4 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
54phlsrng 16817 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  F  e.  *Ring
)
7 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  C  e.  K )
8 ipassr.i . . . . 5  |-  .*  =  ( * r `  F )
9 ipdir.f . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
108, 9srngcl 15898 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  C )  e.  K )
116, 7, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  C )  e.  K
)
12 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
13 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 ipass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 ipass.p . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  F )
164, 12, 13, 9, 14, 15, 8ipassr 16832 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  (  .*  `  C )  e.  K ) )  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
171, 2, 3, 11, 16syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
188, 9srngnvl 15899 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  C ) )  =  C )
196, 7, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  (  .*  `  C
) )  =  C )
2019oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  (  .*  `  (  .* 
`  C ) ) )  =  ( ( A  .,  B ) 
.X.  C ) )
2117, 20eqtr2d 2437 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   * rcstv 13486  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   .icip 13489   *Ringcsr 15887   PreHilcphl 16810
This theorem is referenced by:  ipcau2  19144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-ghm 14959  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-rnghom 15774  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-phl 16812
  Copyright terms: Public domain W3C validator