MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Unicode version

Theorem ipcau 19066
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcau.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcau.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
Assertion
Ref Expression
ipcau  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . 3  |-  (toCHil `  W )  =  (toCHil `  W )
2 ipcau.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2387 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphphl 19005 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
7 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
83, 7cphsca 19013 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
10 ipcau.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
113, 7cphsqrcl 19018 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
124, 11sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
132, 10ipge0 19032 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
144, 13sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  V
)  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
15 eqid 2387 . . 3  |-  ( norm `  (toCHil `  W )
)  =  ( norm `  (toCHil `  W )
)
16 eqid 2387 . . 3  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
17 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 19062 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )  x.  ( ( norm `  (toCHil `  W ) ) `  Y ) ) )
20 ipcau.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
211, 20cphtchnm 19059 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  (
norm `  (toCHil `  W
) ) )
224, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  N  =  ( norm `  (toCHil `  W ) ) )
2322fveq1d 5670 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  X )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )
)
2422fveq1d 5670 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  Y )
)
2523, 24oveq12d 6038 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  X
)  x.  ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  Y
) ) )
2619, 25breqtrrd 4179 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    <_ cle 9054    / cdiv 9609   sqrcsqr 11965   abscabs 11966   Basecbs 13396   ↾s cress 13397  Scalarcsca 13459   .icip 13461  ℂfldccnfld 16626   PreHilcphl 16778   normcnm 18495   CPreHilccph 19000  toCHilctch 19001
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  19069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-rnghom 15746  df-drng 15764  df-subrg 15793  df-staf 15860  df-srng 15861  df-lmod 15879  df-lmhm 16025  df-lvec 16102  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-phl 16780  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-xms 18259  df-ms 18260  df-nm 18501  df-ngp 18502  df-tng 18503  df-nlm 18505  df-clm 18959  df-cph 19002  df-tch 19003
  Copyright terms: Public domain W3C validator