MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Structured version   Unicode version

Theorem ipcau 19187
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcau.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcau.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
Assertion
Ref Expression
ipcau  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  (toCHil `  W )  =  (toCHil `  W )
2 ipcau.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphphl 19126 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
83, 7cphsca 19134 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
10 ipcau.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
113, 7cphsqrcl 19139 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
124, 11sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
132, 10ipge0 19153 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
144, 13sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  V
)  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
15 eqid 2435 . . 3  |-  ( norm `  (toCHil `  W )
)  =  ( norm `  (toCHil `  W )
)
16 eqid 2435 . . 3  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
17 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 19183 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )  x.  ( ( norm `  (toCHil `  W ) ) `  Y ) ) )
20 ipcau.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
211, 20cphtchnm 19180 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  (
norm `  (toCHil `  W
) ) )
224, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  N  =  ( norm `  (toCHil `  W ) ) )
2322fveq1d 5722 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  X )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )
)
2422fveq1d 5722 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  Y )
)
2523, 24oveq12d 6091 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  X
)  x.  ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  Y
) ) )
2619, 25breqtrrd 4230 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    <_ cle 9113    / cdiv 9669   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   Basecbs 13461   ↾s cress 13462  Scalarcsca 13524   .icip 13526  ℂfldccnfld 16695   PreHilcphl 16847   normcnm 18616   CPreHilccph 19121  toCHilctch 19122
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  19190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-phl 16849  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-tng 18624  df-nlm 18626  df-clm 19080  df-cph 19123  df-tch 19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator