MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Unicode version

Theorem ipcau 18684
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcau.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcau.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
Assertion
Ref Expression
ipcau  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (toCHil `  W )  =  (toCHil `  W )
2 ipcau.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2296 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphphl 18623 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
83, 7cphsca 18631 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
94, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
10 ipcau.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
113, 7cphsqrcl 18636 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
124, 11sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
132, 10ipge0 18650 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
144, 13sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  V
)  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
15 eqid 2296 . . 3  |-  ( norm `  (toCHil `  W )
)  =  ( norm `  (toCHil `  W )
)
16 eqid 2296 . . 3  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
17 simp2 956 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 simp3 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 18680 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )  x.  ( ( norm `  (toCHil `  W ) ) `  Y ) ) )
20 ipcau.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
211, 20cphtchnm 18677 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  (
norm `  (toCHil `  W
) ) )
224, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  N  =  ( norm `  (toCHil `  W ) ) )
2322fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  X )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )
)
2422fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  Y )
)
2523, 24oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  X
)  x.  ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  Y
) ) )
2619, 25breqtrrd 4065 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884    / cdiv 9439   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   Basecbs 13164   ↾s cress 13165  Scalarcsca 13227   .icip 13229  ℂfldccnfld 16393   PreHilcphl 16544   normcnm 18115   CPreHilccph 18618  toCHilctch 18619
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  18687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123  df-nlm 18125  df-clm 18577  df-cph 18620  df-tch 18621
  Copyright terms: Public domain W3C validator