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Theorem ipcau2 18664
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipcau2.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ipcau2.c  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
ipcau2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcau2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipcau2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    x, C    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    N( x)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  ( X  .,  Y )  =  ( X  .,  ( 0g `  W ) ) )
21oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( ( X 
.,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
32breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) )  <->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
4 tchval.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (toCHil `  W )
5 tchcph.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 tchcph.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
8 tchcph.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
94, 5, 6, 7, 8tchclm 18662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
10 tchcph.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  F
)
116, 10clmsscn 18577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
129, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  .,  =  ( .i `  W )
166, 15, 5, 10ipcl 16537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
177, 13, 14, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
1812, 17sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
1918adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
206, 15, 5, 10ipcl 16537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
217, 14, 13, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
2212, 21sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
2322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  CC )
244, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 18663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
2514, 24mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2625recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  CC )
286clm0 18570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
299, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
3029eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F ) ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 16542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V )  ->  (
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
347, 14, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  ( 0g `  F )  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3530, 34bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3635necon3bid 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =/=  0  <->  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
3736biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  =/=  0
)
3819, 23, 27, 37divassd 9571 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
4039oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4138, 40syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )
42 phllmod 16534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
437, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  LMod )
4513adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  e.  V )
4639fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 C )  =  ( * `  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4723, 27, 37cjdivd 11708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( * `  ( Y 
.,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
4846, 47syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( * `  ( Y  .,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
498fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * r `  F )  =  ( * r `  (flds  K )
) )
50 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  F )  e.  _V
5110, 50eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  e. 
_V
52 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
53 cnfldcj 16386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  *  =  ( * r ` fld )
5452, 53ressstarv 13262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( * r `
 (flds  K ) ) )
5551, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  *  =  ( * r `  (flds  K
) )
5649, 55syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * r `  F )  =  * )
5756fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( * `
 ( X  .,  Y ) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
596, 15, 5, 58ipcj 16538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
607, 13, 14, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
6157, 60eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( X  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  X ) )
6362fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( * `
 ( Y  .,  X ) ) )
6419cjcjd 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( X 
.,  Y ) )
6563, 64eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  X
) )  =  ( X  .,  Y ) )
6625adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
6766cjred 11711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  Y ) )
6865, 67oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  ( Y  .,  X ) )  / 
( * `  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  Y )  /  ( Y  .,  Y ) ) )
6919, 27, 37divrecd 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
7048, 68, 693eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
719adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e. CMod )
7217adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K
)
736, 15, 5, 10ipcl 16537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
747, 14, 14, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K
)
768adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  =  (flds  K
) )
77 phllvec 16533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
787, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
796lvecdrng 15858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  e.  DivRing )
8210, 76, 81cphreccllem 18614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) )  /\  ( Y  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
8375, 37, 82mpd3an23 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
846, 10clmmcl 18582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8571, 72, 83, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8670, 85eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  e.  K
)
8714adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  Y  e.  V )
88 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
895, 6, 88, 10lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )
9044, 86, 87, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .s `  W
) Y )  e.  V )
91 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
925, 91lmodvsubcl 15670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )  -> 
( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  V )
9344, 45, 90, 92syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  e.  V
)
94 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
9594ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
9695adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x ) )
97 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  /\  x  =  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9897anidms 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9998breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10099rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x
)  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10193, 96, 100sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) )
102 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1047adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  PreHil )
1056, 15, 5, 91, 102, 103, 104, 45, 90, 45, 90ip2subdi 16548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) ) )
10676fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  (flds  K ) ) )
107 cnfldadd 16384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +  =  ( +g  ` fld )
10852, 107ressplusg 13250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  K )
) )
10951, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  `  (flds  K ) )
110106, 109syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  +  )
111 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  =  ( X  .,  X ) )
112 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1136, 15, 5, 10, 88, 112ipass 16549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y )  e.  V ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
114104, 86, 87, 90, 113syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
11576fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (flds  K ) ) )
116 cnfldmul 16385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x.  =  ( .r ` fld )
11752, 116ressmulr 13261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  K
) ) )
11851, 117ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x.  =  ( .r `  (flds  K ) )
119115, 118syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  x.  )
120 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( * `  C ) )
12123, 27, 37divrecd 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12239, 121syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  =  ( ( Y  .,  X )  x.  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
12321adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K
)
1246, 10clmmcl 18582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( Y  .,  X )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
12571, 123, 83, 124syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
126122, 125eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  e.  K )
1276, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 16551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( Y  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
128104, 87, 87, 126, 127syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
129119oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( Y  .,  Y
)  x.  C ) )
13039oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( Y  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
13123, 27, 37divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
132130, 131syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( Y  .,  X ) )
133129, 132eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  X ) )
13456adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * r `  F )  =  * )
135134fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* r `  F
) `  C )  =  ( * `  C ) )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )
137136oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
138128, 133, 1373eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
139119, 120, 138oveq123d 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
140114, 139eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
141110, 111, 140oveq123d 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
1426, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 16551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
143104, 45, 87, 126, 142syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
144119oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
145136oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
146143, 144, 1453eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
1476, 15, 5, 10, 88, 112ipass 16549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
148104, 86, 87, 45, 147syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
149119oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  X ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
150148, 149eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
151110, 146, 150oveq123d 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  X
) )  =  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
152141, 151oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1536, 15, 5, 10ipcl 16537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
154104, 45, 45, 153syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  K
)
1556, 10clmmcl 18582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  ( Y  .,  X )  e.  K )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
15671, 86, 123, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  K
)
1576, 10clmacl 18581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
15871, 154, 156, 157syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
1596, 10clmmcl 18582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K )
16071, 72, 126, 159syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  K
)
1616, 10clmacl 18581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K  /\  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  K )
16271, 160, 156, 161syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) )  e.  K )
1636, 10clmsub 18578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K  /\  (
( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) (
-g `  F )
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
16471, 158, 162, 163syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1654, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 18663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
16613, 165mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
167166recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
16918absvalsqd 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) ) )
17061oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
171169, 170eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
17218abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
173172resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
174171, 173eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  RR )
176175, 66, 37redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
17741, 176eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  RR )
178177recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  CC )
17971, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  K  C_  CC )
180179, 156sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  CC )
181168, 178, 180pnpcan2d 9195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
182164, 181eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
183105, 152, 1823eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) ) )
184101, 183breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
185166adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
186185, 177subge0d 9362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 0  <_  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) ) )
187184, 186mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) )
18841, 187eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
) )
189 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
190189anidms 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
191190breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
192191rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
19314, 95, 192sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
194193adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
19566, 194, 37ne0gt0d 8956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <  ( Y  .,  Y ) )
196 ledivmul2 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR  /\  ( X  .,  X )  e.  RR  /\  ( ( Y  .,  Y )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  .,  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  / 
( Y  .,  Y
) )  <_  ( X  .,  X )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
197175, 185, 66, 195, 196syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
)  <->  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
198188, 197mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )
1996, 15, 5, 31, 32ip0r 16541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F
) )
2007, 13, 199syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F ) )
201200, 29eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  0 )
202201oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( 0  x.  ( Y  .,  X
) ) )
20322mul02d 9010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( Y  .,  X ) )  =  0 )
204202, 203eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  0 )
205 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
206205anidms 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
207206breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
208207rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
20913, 95, 208sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
210166, 25, 209, 193mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
211204, 210eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
2123, 198, 211pm2.61ne 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
213166, 209resqrcld 11900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
214213recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
21525, 193resqrcld 11900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
216215recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
217214, 216sqmuld 11257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
218167sqsqrd 11921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
21926sqsqrd 11921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
220218, 219oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
221217, 220eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y ) ) )
222212, 171, 2213brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
223213, 215remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
22418absge0d 11926 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( X  .,  Y
) ) )
225166, 209sqrge0d 11903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
22625, 193sqrge0d 11903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
227213, 215, 225, 226mulge0d 9349 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
228172, 223, 224, 227le2sqd 11280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
229222, 228mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
230 lmodgrp 15634 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
23143, 230syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
232 ipcau2.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  G
)
2334, 232, 5, 15tchnmval 18660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
234231, 13, 233syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
2354, 232, 5, 15tchnmval 18660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
236231, 14, 235syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
237234, 236oveq12d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
238229, 237breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   ^cexp 11104   *ccj 11581   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   * rcstv 13210  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   .icip 13213   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LVecclvec 15855  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528   normcnm 18099  CModcclm 18560  toCHilctch 18603
This theorem is referenced by:  tchcphlem1  18665  ipcau  18668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-nm 18105  df-tng 18107  df-clm 18561  df-tch 18605
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