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Theorem ipcau2 19144
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipcau2.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ipcau2.c  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
ipcau2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcau2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipcau2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    x, C    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    N( x)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  ( X  .,  Y )  =  ( X  .,  ( 0g `  W ) ) )
21oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( ( X 
.,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
32breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) )  <->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
4 tchval.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (toCHil `  W )
5 tchcph.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 tchcph.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
8 tchcph.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
94, 5, 6, 7, 8tchclm 19142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
10 tchcph.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  F
)
116, 10clmsscn 19057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  .,  =  ( .i `  W )
166, 15, 5, 10ipcl 16819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
177, 13, 14, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
1812, 17sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
1918adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
206, 15, 5, 10ipcl 16819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
217, 14, 13, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
2212, 21sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  CC )
244, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 19143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
2514, 24mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2625recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  CC )
286clm0 19050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
299, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
3029eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F ) ) )
31 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
32 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 16824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V )  ->  (
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
347, 14, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  ( 0g `  F )  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3530, 34bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3635necon3bid 2602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =/=  0  <->  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
3736biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  =/=  0
)
3819, 23, 27, 37divassd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
4039oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4138, 40syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )
42 phllmod 16816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
437, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  LMod )
4513adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  e.  V )
4639fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 C )  =  ( * `  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4723, 27, 37cjdivd 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( * `  ( Y 
.,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
4846, 47syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( * `  ( Y  .,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
498fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * r `  F )  =  ( * r `  (flds  K )
) )
50 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  F )  e.  _V
5110, 50eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  e. 
_V
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
53 cnfldcj 16665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  *  =  ( * r ` fld )
5452, 53ressstarv 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( * r `
 (flds  K ) ) )
5551, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  *  =  ( * r `  (flds  K
) )
5649, 55syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * r `  F )  =  * )
5756fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( * `
 ( X  .,  Y ) ) )
58 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
596, 15, 5, 58ipcj 16820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
607, 13, 14, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
6157, 60eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( X  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  X ) )
6362fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( * `
 ( Y  .,  X ) ) )
6419cjcjd 11959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( X 
.,  Y ) )
6563, 64eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  X
) )  =  ( X  .,  Y ) )
6625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
6766cjred 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  Y ) )
6865, 67oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  ( Y  .,  X ) )  / 
( * `  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  Y )  /  ( Y  .,  Y ) ) )
6919, 27, 37divrecd 9749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
7048, 68, 693eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
719adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e. CMod )
7217adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K
)
736, 15, 5, 10ipcl 16819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
747, 14, 14, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K
)
768adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  =  (flds  K
) )
77 phllvec 16815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
787, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
796lvecdrng 16132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  e.  DivRing )
8210, 76, 81cphreccllem 19094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) )  /\  ( Y  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
8375, 37, 82mpd3an23 1281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
846, 10clmmcl 19062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8571, 72, 83, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8670, 85eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  e.  K
)
8714adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  Y  e.  V )
88 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
895, 6, 88, 10lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )
9044, 86, 87, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .s `  W
) Y )  e.  V )
91 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
925, 91lmodvsubcl 15944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )  -> 
( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  V )
9344, 45, 90, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  e.  V
)
94 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
9594ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
9695adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x ) )
97 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  /\  x  =  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9897anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9998breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10099rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x
)  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10193, 96, 100sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) )
102 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
103 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1047adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  PreHil )
1056, 15, 5, 91, 102, 103, 104, 45, 90, 45, 90ip2subdi 16830 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) ) )
10676fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  (flds  K ) ) )
107 cnfldadd 16663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +  =  ( +g  ` fld )
10852, 107ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  K )
) )
10951, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  `  (flds  K ) )
110106, 109syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  +  )
111 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  =  ( X  .,  X ) )
112 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1136, 15, 5, 10, 88, 112ipass 16831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y )  e.  V ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
114104, 86, 87, 90, 113syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
11576fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (flds  K ) ) )
116 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x.  =  ( .r ` fld )
11752, 116ressmulr 13537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  K
) ) )
11851, 117ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x.  =  ( .r `  (flds  K ) )
119115, 118syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  x.  )
120 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( * `  C ) )
12123, 27, 37divrecd 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12239, 121syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  =  ( ( Y  .,  X )  x.  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
12321adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K
)
1246, 10clmmcl 19062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( Y  .,  X )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
12571, 123, 83, 124syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
126122, 125eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  e.  K )
1276, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 16833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( Y  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
128104, 87, 87, 126, 127syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
129119oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( Y  .,  Y
)  x.  C ) )
13039oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( Y  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
13123, 27, 37divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
132130, 131syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( Y  .,  X ) )
133129, 132eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  X ) )
13456adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * r `  F )  =  * )
135134fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* r `  F
) `  C )  =  ( * `  C ) )
136135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )
137136oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( ( * r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
138128, 133, 1373eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
139119, 120, 138oveq123d 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
140114, 139eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
141110, 111, 140oveq123d 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
1426, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 16833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
143104, 45, 87, 126, 142syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
144119oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
145136oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( ( * r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
146143, 144, 1453eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
1476, 15, 5, 10, 88, 112ipass 16831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
148104, 86, 87, 45, 147syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
149119oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  X ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
150148, 149eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
151110, 146, 150oveq123d 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  X
) )  =  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
152141, 151oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1536, 15, 5, 10ipcl 16819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
154104, 45, 45, 153syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  K
)
1556, 10clmmcl 19062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  ( Y  .,  X )  e.  K )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
15671, 86, 123, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  K
)
1576, 10clmacl 19061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
15871, 154, 156, 157syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
1596, 10clmmcl 19062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K )
16071, 72, 126, 159syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  K
)
1616, 10clmacl 19061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K  /\  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  K )
16271, 160, 156, 161syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) )  e.  K )
1636, 10clmsub 19058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K  /\  (
( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) (
-g `  F )
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
16471, 158, 162, 163syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1654, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 19143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
16613, 165mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
167166recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
16918absvalsqd 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) ) )
17061oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
171169, 170eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
17218abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
173172resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
174171, 173eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR )
175174adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  RR )
176175, 66, 37redivcld 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
17741, 176eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  RR )
178177recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  CC )
17971, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  K  C_  CC )
180179, 156sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  CC )
181168, 178, 180pnpcan2d 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
182164, 181eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
183105, 152, 1823eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) ) )
184101, 183breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
185166adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
186185, 177subge0d 9572 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 0  <_  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) ) )
187184, 186mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) )
18841, 187eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
) )
189 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
190189anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
191190breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
192191rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
19314, 95, 192sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
194193adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
19566, 194, 37ne0gt0d 9166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <  ( Y  .,  Y ) )
196 ledivmul2 9843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR  /\  ( X  .,  X )  e.  RR  /\  ( ( Y  .,  Y )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  .,  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  / 
( Y  .,  Y
) )  <_  ( X  .,  X )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
197175, 185, 66, 195, 196syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
)  <->  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
198188, 197mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )
1996, 15, 5, 31, 32ip0r 16823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F
) )
2007, 13, 199syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F ) )
201200, 29eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  0 )
202201oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( 0  x.  ( Y  .,  X
) ) )
20322mul02d 9220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( Y  .,  X ) )  =  0 )
204202, 203eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  0 )
205 oveq12 6049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
206205anidms 627 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
207206breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
208207rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
20913, 95, 208sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
210166, 25, 209, 193mulge0d 9559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
211204, 210eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
2123, 198, 211pm2.61ne 2642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
213166, 209resqrcld 12175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
214213recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
21525, 193resqrcld 12175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
216215recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
217214, 216sqmuld 11490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
218167sqsqrd 12196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
21926sqsqrd 12196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
220218, 219oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
221217, 220eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y ) ) )
222212, 171, 2213brtr4d 4202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
223213, 215remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
22418absge0d 12201 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( X  .,  Y
) ) )
225166, 209sqrge0d 12178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
22625, 193sqrge0d 12178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
227213, 215, 225, 226mulge0d 9559 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
228172, 223, 224, 227le2sqd 11513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
229222, 228mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
230 lmodgrp 15912 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
23143, 230syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
232 ipcau2.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  G
)
2334, 232, 5, 15tchnmval 19140 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
234231, 13, 233syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
2354, 232, 5, 15tchnmval 19140 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
236231, 14, 235syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
237234, 236oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
238229, 237breqtrrd 4198 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   ^cexp 11337   *ccj 11856   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   * rcstv 13486  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   .icip 13489   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643   DivRingcdr 15790   LModclmod 15905   LVecclvec 16129  ℂfldccnfld 16658   PreHilcphl 16810   normcnm 18577  CModcclm 19040  toCHilctch 19083
This theorem is referenced by:  tchcphlem1  19145  ipcau  19148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-nm 18583  df-tng 18585  df-clm 19041  df-tch 19085
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