Theorem ipcl 8365

Description: An inner product is a complex number.

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	|- X = (Base` U)
ipcl.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Proof of Theorem ipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		eqid 1475	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1475	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1475	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
5		ipcl.7	. . 3 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 8353	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
7		axmulcl 5273	. . . . 5 |- (((i^k) e. CC /\ (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC) -> ((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
8		elfznnt 6494	. . . . . . 7 |- (k e. (1...4) -> k e. NN)
9		nnnn0t 6106	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
10		axicn 5270	. . . . . . . 8 |- i e. CC
11		expclt 6581	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
12	10, 11	mpan 695	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
13	8, 9, 12	3syl 20	. . . . . 6 |- (k e. (1...4) -> (i^k) e. CC)
14	13	adantl 388	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (i^k) e. CC)
15	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 8356	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ (i^k) e. CC) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
16	15, 13	sylan2 451	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
17	7, 14, 16	sylanc 471	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> ((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
18	17	r19.21aiva 1714	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
19		1z 6159	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
20	19	eluz1 6422	. . . . 5 |- (4 e. (ZZ>` 1) <-> (4 e. ZZ /\ 1 <_ 4))
21		4nn 6002	. . . . . 6 |- 4 e. NN
22		nnzt 6153	. . . . . 6 |- (4 e. NN -> 4 e. ZZ)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
24		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
25	24	subid 5391	. . . . . . 7 |- (1 - 1) = 0
26		4pos 5992	. . . . . . 7 |- 0 < 4
27	25, 26	eqbrtr 2634	. . . . . 6 |- (1 - 1) < 4
28		1nn 5934	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
29		nnlem1ltt 6186	. . . . . . 7 |- ((1 e. NN /\ 4 e. NN) -> (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4))
30	28, 21, 29	mp2an 697	. . . . . 6 |- (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4)
31	27, 30	mpbir 190	. . . . 5 |- 1 <_ 4
32	20, 23, 31	mpbir2an 730	. . . 4 |- 4 e. (ZZ>` 1)
33		fsumclt 7015	. . . 4 |- ((4 e. (ZZ>` 1) /\ A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC) -> sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
34	32, 33	mpan 695	. . 3 |- (A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
35		4re 5982	. . . . 5 |- 4 e. RR
36	35	recn 5314	. . . 4 |- 4 e. CC
37	35, 26	gt0ne0i 5617	. . . 4 |- 4 =/= 0
38		divclt 5712	. . . 4 |- ((sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
39	36, 37, 38	mp3an23 908	. . 3 |- (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
40	18, 34, 39	3syl 20	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
41	6, 40	eqeltrd 1548	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  2c2 5961  4c4 5963  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467  ^cexp 6568  sum_csu 6979  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  normcnm 8209  .icip 8349

This theorem is referenced by:  ipf 8366  ipipcj 8368  ip1ilem 8485  ip2i 8487  ipasslem1 8490  ipasslem2 8491  ipasslem4 8493  ipasslem5 8494  ipasslem6 8495  ipasslem8 8497  ipasslem9 8498  ipasslem10 8499  ipasslem11 8500  ipdi 8503  ip2dii 8504  ipassr 8506  ipsubdir 8508  ipsubdi 8509  pythi 8510  siilem1 8511  siilem2 8512  siii 8513  ipblnfi 8516  ip2eqi 8517  htthlem6 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ip 8350

Copyright terms: Public domain