Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcn Structured version   Unicode version

Theorem ipcn 19200
 Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.f
ipcn.j
ipcn.k fld
Assertion
Ref Expression
ipcn

Proof of Theorem ipcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 19134 . . . . 5
2 eqid 2436 . . . . . 6
3 ipcn.f . . . . . 6
4 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
5 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
62, 3, 4, 5phlipf 16883 . . . . 5 Scalar
71, 6syl 16 . . . 4 Scalar
8 cphclm 19152 . . . . 5 CMod
94, 5clmsscn 19104 . . . . 5 CMod Scalar
108, 9syl 16 . . . 4 Scalar
11 fss 5599 . . . 4 Scalar Scalar
127, 10, 11syl2anc 643 . . 3
13 eqid 2436 . . . . . . 7
14 eqid 2436 . . . . . . 7
15 eqid 2436 . . . . . . 7
16 eqid 2436 . . . . . . 7
17 eqid 2436 . . . . . . 7
18 simpll 731 . . . . . . 7
19 simplrl 737 . . . . . . 7
20 simplrr 738 . . . . . . 7
21 simpr 448 . . . . . . 7
222, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ipcnlem1 19199 . . . . . 6
2322ralrimiva 2789 . . . . 5
24 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12
25 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11
2726breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
28 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12
29 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11
3130breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
3227, 31anbi12d 692 . . . . . . . . 9
3312ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
3433, 24, 28fovrnd 6218 . . . . . . . . . . . 12
3533, 25, 29fovrnd 6218 . . . . . . . . . . . 12
36 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
3736cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . 12
3834, 35, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
392, 13, 3ipfval 16880 . . . . . . . . . . . . . 14
4024, 28, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
412, 13, 3ipfval 16880 . . . . . . . . . . . . . 14
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
4340, 42oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
4538, 44eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
4645breq1d 4222 . . . . . . . . 9
4732, 46imbi12d 312 . . . . . . . 8
48472ralbidva 2745 . . . . . . 7
4948rexbidv 2726 . . . . . 6
5049ralbidv 2725 . . . . 5
5123, 50mpbird 224 . . . 4
5251ralrimivva 2798 . . 3
53 cphngp 19136 . . . . . . 7 NrmGrp
54 ngpms 18647 . . . . . . 7 NrmGrp
5553, 54syl 16 . . . . . 6
56 msxms 18484 . . . . . 6
5755, 56syl 16 . . . . 5
58 eqid 2436 . . . . . 6
592, 58xmsxmet 18486 . . . . 5
6057, 59syl 16 . . . 4
61 cnxmet 18807 . . . . 5
6261a1i 11 . . . 4
63 eqid 2436 . . . . 5
64 ipcn.k . . . . . 6 fld
6564cnfldtopn 18816 . . . . 5
6663, 63, 65txmetcn 18578 . . . 4
6760, 60, 62, 66syl3anc 1184 . . 3
6812, 52, 67mpbir2and 889 . 2
69 ipcn.j . . . . . 6
7069, 2, 58mstopn 18482 . . . . 5
7155, 70syl 16 . . . 4
7271, 71oveq12d 6099 . . 3
7372oveq1d 6096 . 2
7468, 73eleqtrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   wss 3320   class class class wbr 4212   cxp 4876   cres 4880   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  c1 8991   caddc 8993   clt 9120   cmin 9291   cdiv 9677  c2 10049  crp 10612  cabs 12039  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cip 13534  cds 13538  ctopn 13649  cxmt 16686  cmopn 16691  ℂfldccnfld 16703  cphl 16855  cipf 16856   ccn 17288   ctx 17592  cxme 18347  cmt 18348  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625  CModcclm 19087  ccph 19129 This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  19201  cnmpt2ip  19202 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-ipf 16858  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131  df-tch 19132
 Copyright terms: Public domain W3C validator