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Theorem ipcn 18689
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.f  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
ipcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
ipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipcn  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem ipcn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 18623 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 ipcn.f . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
62, 3, 4, 5phlipf 16572 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
8 cphclm 18641 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
94, 5clmsscn 18593 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
11 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( Base `  (Scalar `  W )
)  C_  CC )  ->  .,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC )
127, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC )
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) )
17 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  W ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
18 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e.  CPreHil )
19 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
Base `  W )
)
20 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
222, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ipcnlem1 18688 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
2322ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
24 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
25 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  z  e.  ( Base `  W
) )
2624, 25ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  =  ( x ( dist `  W
) z ) )
2726breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  <  s  <->  ( x ( dist `  W
) z )  < 
s ) )
28 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
29 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  w  e.  ( Base `  W
) )
3028, 29ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W
) w ) )
3130breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s  <->  ( y ( dist `  W
) w )  < 
s ) )
3227, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  <->  ( (
x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
3312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC )
34 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .,  y )  e.  CC )
3533, 24, 28, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  e.  CC )
36 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .,  w )  e.  CC )
3733, 25, 29, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  e.  CC )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3938cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .,  y
)  e.  CC  /\  ( z  .,  w
)  e.  CC )  ->  ( ( x 
.,  y ) ( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  =  ( abs `  ( ( x  .,  y )  -  ( z  .,  w ) ) ) )
4035, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) ) ) )
412, 13, 3ipfval 16569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
4224, 28, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
432, 13, 3ipfval 16569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4542, 44oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) )  =  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )
4645fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( abs `  ( ( x 
.,  y )  -  ( z  .,  w
) ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4740, 46eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4847breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x  .,  y ) ( abs 
o.  -  ) (
z  .,  w )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
4932, 48imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( dist `  W ) z )  <  s  /\  (
y ( dist `  W
) w )  < 
s )  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )  < 
r ) ) )
50492ralbidva 2596 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  W )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) )  <  r ) ) )
5150rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
5251ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
5323, 52mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
5453ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
55 cphngp 18625 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
56 ngpms 18138 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5755, 56syl 15 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  MetSp )
58 msxms 18016 . . . . . 6  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
5957, 58syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  * MetSp )
60 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 18018 . . . . 5  |-  ( W  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W
) ) )
6259, 61syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )
63 cnxmet 18298 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
6463a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
65 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
66 ipcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6766cnfldtopn 18307 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6865, 65, 67txmetcn 18110 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .,  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K
)  <->  (  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC 
/\  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
6962, 62, 64, 68syl3anc 1182 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (  .,  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  K )  <-> 
(  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
7012, 54, 69mpbir2and 888 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
71 ipcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 18014 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7357, 72syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7473, 73oveq12d 5892 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( J  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574oveq1d 5889 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( J 
tX  J )  Cn  K )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
7670, 75eleqtrrd 2373 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   abscabs 11735   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .icip 13229   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393   PreHilcphl 16544   .i fcipf 16545    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   *
MetSpcxme 17898   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  CModcclm 18576   CPreHilccph 18618
This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  18690  cnmpt2ip  18691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-ipf 16547  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123  df-nlm 18125  df-clm 18577  df-cph 18620  df-tch 18621
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