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Theorem ipcn 18673
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.f  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
ipcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
ipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipcn  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem ipcn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 18607 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 ipcn.f . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
62, 3, 4, 5phlipf 16556 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
8 cphclm 18625 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
94, 5clmsscn 18577 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
11 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( Base `  (Scalar `  W )
)  C_  CC )  ->  .,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC )
127, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC )
13 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
14 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  W ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
18 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e.  CPreHil )
19 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
Base `  W )
)
20 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
222, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ipcnlem1 18672 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
2322ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
24 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
25 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  z  e.  ( Base `  W
) )
2624, 25ovresd 5988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  =  ( x ( dist `  W
) z ) )
2726breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  <  s  <->  ( x ( dist `  W
) z )  < 
s ) )
28 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
29 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  w  e.  ( Base `  W
) )
3028, 29ovresd 5988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W
) w ) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s  <->  ( y ( dist `  W
) w )  < 
s ) )
3227, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  <->  ( (
x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
3312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC )
34 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .,  y )  e.  CC )
3533, 24, 28, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  e.  CC )
36 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.,  : ( (
Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .,  w )  e.  CC )
3733, 25, 29, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  e.  CC )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3938cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .,  y
)  e.  CC  /\  ( z  .,  w
)  e.  CC )  ->  ( ( x 
.,  y ) ( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  =  ( abs `  ( ( x  .,  y )  -  ( z  .,  w ) ) ) )
4035, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) ) ) )
412, 13, 3ipfval 16553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
4224, 28, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
432, 13, 3ipfval 16553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4542, 44oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) )  =  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( abs `  ( ( x 
.,  y )  -  ( z  .,  w
) ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4740, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4847breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x  .,  y ) ( abs 
o.  -  ) (
z  .,  w )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
4932, 48imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( dist `  W ) z )  <  s  /\  (
y ( dist `  W
) w )  < 
s )  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )  < 
r ) ) )
50492ralbidva 2583 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  W )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) )  <  r ) ) )
5150rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
5251ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
5323, 52mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
5453ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
55 cphngp 18609 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
56 ngpms 18122 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5755, 56syl 15 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  MetSp )
58 msxms 18000 . . . . . 6  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
5957, 58syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  * MetSp )
60 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 18002 . . . . 5  |-  ( W  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W
) ) )
6259, 61syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )
63 cnxmet 18282 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
6463a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
65 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
66 ipcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6766cnfldtopn 18291 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6865, 65, 67txmetcn 18094 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .,  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K
)  <->  (  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC 
/\  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
6962, 62, 64, 68syl3anc 1182 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (  .,  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  K )  <-> 
(  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
7012, 54, 69mpbir2and 888 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
71 ipcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 17998 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7357, 72syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7473, 73oveq12d 5876 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( J  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574oveq1d 5873 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( J 
tX  J )  Cn  K )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
7670, 75eleqtrrd 2360 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .icip 13213   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528   .i fcipf 16529    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  CModcclm 18560   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  18674  cnmpt2ip  18675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-ipf 16531  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-tng 18107  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-tch 18605
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